Função Modular

Páginas: 5 (1015 palavras) Publicado: 3 de setembro de 2014
Função Modular
Módulo (ou valor absoluto) de um número
O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:
Então:
 se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x.
Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15
 se x é negativo, | x | é igual a -x.
Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20
O módulo deum número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.
Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:

Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a  -a < x < a.Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a  x > a ou x < -a.




Equações Modulares
Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular.
Exemplo
Resolver a equação | x2-5x | = 6.
Resolução: dois casos
caso 1:x2-5x = 6
caso 2: x2-5x = -6

Resolvendo o caso 1:
x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1.
Resolvendo o caso 2:
x2-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2.
Resposta: S={-1,2,3,6}
Inequações modulares
Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.
Algumas inequações modulares resolvidas:
Resolver a inequação | -2x+6 | < 2.
então:
S = {x  IR| 2 x+5 = 32 => x=9-5 => x=4
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}.
log2(log4 x) = 1
log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então
log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16
Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}.
Resolva o sistema:

condições de existência: x>0 e y>0
Da primeiraequação temos:
log x+log y=7 => log y = 7-log x
Substituindo log y na segunda equação temos:
3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>

=> log x =3 => x=103
Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:
log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.
Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução éS={(103;104)}.
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos de inequações logarítmicas:
1) log2x > 0 (a solução é x>1)
2) log4(x+3)  1 (a solução é –31;
 quando 0 an  m 0, cada termo seu é maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Aocontrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é consequência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.
 
Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4,... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 .Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q

Simplificando:



Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e...
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