Funçao modular

Função Modular

Alberonaldo Lima Alves

[e-mail]

Brunno Rodrigo Leite Anacleto

[e-mail]

Módulo e Raiz Quadrada
Consideremos os números reais x e y.

x

y

se, e somente se, y2 = x

ey

0 . Daí podemos concluir que:

Se tivermos x Se | x | < a (com a>0) significa que x deve estar entre –a e a, ou seja:

|x| Se | x | > a (com a>0) significa que x deve estar à direita de a ou à esquerda de –a

na reta real, ou seja:

|x|>a

x > a ou x < -a.

Equações e Inequações Modulares
Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular.
Exemplos:
| x2-5x | = 1
| x+8 | = | x2-3 |
Chamamos de inequações modulares as inequações nas quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.
Exemplos:
|x-3| | x³ |

Exemplos resolvidos
1) Resolver a equação | x2 - 5x | = 6.

Resolução: Temos que analisar dois casos:
Caso 1: x2 - 5x = 6 x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1.
Caso 2:

x2 - 5x = -6 x2 -5x + 6 = 0 => x’=3 e x’’=2.

Resposta: S={-1,2,3,6}
2) Resolver a inequação | -2x + 6 | < 2.

| - 2x 6 | 2

2

2x 6

2x

8

x

4

2x

4

x

2

Resposta: S = { x

IR | 2 < x -4

x2-2x+3

4.

Então temos duas inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo):
Eq.1: -4

x2-2x+3

Eq.2: x2-2x+3

4

Resolvendo a Eq.1:
-4

x2-2x+3

=>

-4-3

Resolvendo a Eq.2:

x2-2x

=>

x2-2x+3

-7

4

x2-2x

=>

=>

x2-2x-1

x2-2x+7

0 => sem raízes reais

0

Aplicando Bhaskara a chamos a s raízes

x' 1 x' ' 1

S

{x

IR | 1

2

x1

2}

2
2

RESOLUÇÕES

2)
a)

f ( x)

1
| x| 3

1
Sabemos que só é possível em IR se | x | 3 0.
| x| 3
Então : | x | 3 0
| x| 3 x 3 ou x
3
Resposta : D {x IR | x 3 ou x
b)

f ( x)

3}

2 | x 1|

Sabemos que

2 | x 1 | só é possível em IR se 2 | x 1 | 0.

Então : 2 | x 1 | 0
| x 1| 2
2 x12
21x21
Resposta : D {x IR | 1 x