Francieli prob cap3e4

Universidade do Estado de Santa Catarina – UDESC
Centro de Ciências Tecnológicas - CCT
Disciplina:Tópicos Especiais – Análise de Sistemas Lineares
Professor: José de Oliveira

Problemas – Capítulo 3 e 4

Acadêmica: Franciéli Lima de Sá

Joinville, junho de 2009.

1

- Objetivos
Neste trabalho serão apresentados as resoluções dos problemas propostos do terceiro e quarto capítulos do livro “Control System Design”, com o intuito de fixar o conteúdo referente a dinâmica de sistemas lineares e a análise no domínio da freqüência respectivamente. No decorrer das resoluções, os resultados serão analisados e discutidos.

Problema 3.1 Exercícios para a resolução de matriz de transição de estados
Encontre as matrizes de transição de estados para cada uma das matrizes seguintes:

 −1 0 0 
A1  1 −2 0  ;
a)=
 1 2 −3
 −1 0 0 
A2  1 −1 0  ;
b)=
 0 1 −1
 −2 1 1 
A3  1 −2 1  .
c) =
 1 1 −2 

Resolução:
a) A1:
At
e =
Φ (t ) =
L−1[( sI − A) −1 ]
0
0 
 s 0 0   −1 0 0   s + 1





( sI − A) =0 s 0  −  1 −2 0  = −1 s + 2
0 
0 0 s   1 2 −3  −1
−2 s + 3


 1/( s + 1)
0
0 



( s + 1)
=
( sI − A) −1  1/
1/( s + 2)
0 
( S + 2)


 ( s + 4) /( s + 1) 2 /( s + 2)

1/( s + 3) 

( s + 3)
 ( s + 2) /( s + 3)


(1)

(2)

(3)

2



e−t

e − t − e −2t
=
Φ (t ) 
 3 −t
1 −3t
−2 t
 e − 2e + e
2
2

0 e −2t
2e −2t − 2e −3t


0 

0 

e −3t 


(4)

b) A2: e At =
Φ (t ) =
L−1[( sI − A) −1 ]

(5)

0 
s+1 0

( sI −=
A)  -1 s + 1 0 
 0
-1 s + 1

(6)

 1
 (s + 1)

 1
-1
(sI-A) = 
2
 ( s + 1)
 1

3
 ( s + 1)


 e−t

−t
Φ (t ) =
 t *e

1

 2* t 2*e ( − t )

0
1
( s + 1)
1
( s + 1) 2

0 e−t t * e−t





0 

1 

( s + 1) 
0


0

0
 e−t 


(7)

(8)

c) A3: e At =
L−1 =
Φ (t ) =
[( sI − A) −1 ]

−1 
 s + 2 −1
( sI − A) = −1 s + 2 −1 
 −1
−1 s + 2 

(9)

(10)

3


 ( s + 1)
 ( s + 3)

 s
 1
(sI-A)-1 = 
 ( s + 3)
 s
 1

 ( s + 3)
 s

1
( s + 3) s ( s + 1)
( s +