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Representação Geométrica de uma f(x, y)
Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico está no plano x, y e y = f(x).
Para funções de 2 variáveis o gráfico está em R3 e z = f(x, y).
Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.

Representação Geométrica de uma f(x,y) z z = f(x,y)

(x,y)

y

x
Uma f(x, y) é representada por planos ou superfícies no espaço

Exemplos de funções de 2 variáveis
Ex1: A função é z = f(x, y) = 5
A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5.
Ex2: A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y.
Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer :
a) x = 0 e y = 0 → z = 6
b) x = 0 e z = 0 → y = 2
c) y = 0 e z = 0 → x = 3

Exemplos de funções de 2 variáveis
Ex3: A função é z = f(x, y) = x2 + y2

Ex4: A função é
1/2

z = f(x, y) = (1 − x 2 − y 2)

Gráficos - Definição
1)

Gráficos
O gráfico de uma função de duas variáveis representa uma superfície no espaço. Vejamos alguns exemplos:

Gráficos - Exemplos

Gráficos - Exemplos

Diferenças entre 2D e 3D y = f(x)

z = f(x, y)

10
8
10
7.5

6

10

5
2.5
0

4

8
6
2

2

4
4
6

2
8

2

4

y=5

6

8

10

10

z=5

0

Diferenças entre 2D e 3D
20

15
40
30

10

10

20
10
0
0

5

8
6
4

2
4
2

6

2

4

6

8

10

8
10 0

y = 2x + 1

z = 2x + 2y + 1

Diferenças entre 2D e 3D
100
80
60
200
10
0

0
8

0
6
0
4

0
2

2

40
20

4

6

8

10

150
100
50
0
0

10
8
6
4

2
4

2

4

6

8

10

2

6
8
10

y = x2 + 1

z = x2 + y2 + 1

0

Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis

f(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.

10
4
0
2

-10
-4

0
-2
-2

0
2
4 -4

Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2