formulas geral para geometria analitica 130308185759 phpapp01

RESUMO DE FÓRMULAS PARA GEOMETRÍA ANALÍTICA B: 1ª ÁREA
Prof. Elismar R. Oliveira

Soma de vetores:

Soma dos vetores=>

Regra do Paralelogramo =>
𝒖 = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏 ) e 𝒗 = (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒛𝟐 )

Em coordenadas:
Multiplicação p/ nº real
Em coordenadas

𝜶, um número real.

𝒖 = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏 )
1 vetor

LD ou LI

{𝒖} = 𝑳𝑫,
𝑳𝑰,

𝟎,

Ângulo e Projeção

𝒖⋅𝒗 =

𝜶𝒖 = (𝜶𝒙𝟏 , 𝜶 𝒚𝟏 , 𝜶𝒛𝟏 )

2 vetores

𝒔𝒆 𝒖 = 𝟎
𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐

{𝒖, 𝒗} =

𝑳𝑫,
𝑳𝑰,

𝒔𝒆 𝒖 = 𝜶𝒗 𝒐𝒖 𝒗 = 𝜶𝒖
𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐

𝒖 = (𝒙, 𝒚, 𝒛)

Norma em coordenadas

Produto interno

𝒖 + 𝒗 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 , 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 , 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 )

| 𝒖| =

𝒔𝒆 𝒖 = 𝟎 𝒐𝒖 𝒗 = 𝟎
| 𝒖 | 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜽,
𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐

𝒖 = 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏 e 𝒗 = (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒛𝟐 )

3 vetores (em coordenadas)
Se 𝒖 = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏 ), 𝒗 = (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒛𝟐 ) e
𝒘 = (𝒙𝟑 , 𝒚𝟑 , 𝒛𝟑 ),
𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒛𝟏
𝒅 = 𝒅𝒆𝒕 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐
𝒙𝟑 𝒚𝟑 𝒛𝟑
𝑳𝑫,
𝒔𝒆 𝒅 = 𝟎
{𝒖, 𝒗, 𝒘} =
𝑳𝑰,
𝒔𝒆 𝒅 ≠ 𝟎
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐

𝒖⋅𝒖=| 𝒖 𝟐
Ou | 𝒖 | = 𝒖 ⋅ 𝒖
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝟎 <=> 𝒖 ⊥ 𝒗

Em coordenadas:
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒙𝟏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟏 𝒚𝟐 + 𝒛𝟏 𝒛𝟐

Ângulo 𝜽 = ∢(𝒖, 𝒗):

Projeção ortogonal de 𝒖 sobre 𝒗:
𝒖⋅𝒗
𝒑𝒓𝒐𝒋𝒗 𝒖 =
𝒗
𝒗⋅𝒗

𝒖⋅𝒗

𝒄𝒐𝒔 𝜽 =

| 𝒖 | 𝒗

Em coordenadas:
𝒖∧𝒗 ⊥ 𝒖 e 𝒖∧𝒗 ⊥𝒗
Produto Vetorial

𝟎,
𝒔𝒆 {𝒖, 𝒗}é 𝑳𝑫
𝒖 ∧ 𝒗 = ||𝒖 ∧ 𝒗|| = | 𝒖 | 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽,
𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐

Produto Misto

𝒖 ∧ 𝒗 = 𝒅𝒆𝒕

𝒌
𝒛𝟏
𝒛𝟐

||𝒖 ∧ 𝒗|| = Área do paralelogramo formado por 𝒖 e 𝒗.

𝒛𝟏
𝒛𝟐
𝒛𝟑

| 𝒖 , 𝒗, 𝒘 | = Volume do paralelepípedo formado por 𝒖, 𝒗 e 𝒘.

𝑨𝑩 = 𝑩 − 𝑨 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 , 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 , 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 onde, 𝑨 = 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏 e 𝑩 = 𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒛𝟐
𝚺𝟏 = {𝑶, 𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 , 𝒆𝟑 } => 𝚺𝟐 = {𝑶′, 𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 , 𝒆𝟑 }
𝑿 = 𝒙, 𝒚, 𝒛

Mudanças de coordenadas 𝚺𝟏

𝚺𝟏 = {𝑶, 𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 , 𝒆𝟑 } => 𝚺𝟐 = {𝑶, 𝒇𝟏 , 𝒇𝟐 , 𝒇𝟑 }
𝑿 = 𝒙, 𝒚, 𝒛

𝚺𝟏

e 𝑿 = 𝒙′, 𝒚′, 𝒛′

Vetorial

Ângulo