Formulas de Calculo - integral e derivada

Lista de Fórmulas e Regras de Cálculo II
Em construção. Última atualização 17 de junho de 2013.

6 Derivadas

1 Integrais Básicas xα dx =


 ln |x| + k

 xα+1

+k α+1 eβx dx =

se

[c] = 0

α = −1

se

9 Vetor Gradiente

α = −1

f (x, y) = fx (x, y)i + fy (x, y)j

[xα ] = αxα−1
[cos x] = −sen x

1 βx e +k β [sen x] = cos x
1
cos βxdx = sen βx + k β sen

βxdx = −

[ex ] = ex

1 cos βx + k β [ax ] = ax ln a

1 dx = arctg x + k
1 + x2

[loga x] =

2 Regras Básicas

1
[arcsen x] = √
1 − x2

[cu] = cu

f (x)dx = f (x) + k

H(a, b) = fxx (a, b)fyy (a, b)−(fxy (a, b))

f (x)dx+

•

Máximo Local

fxx (a, b) < 0 e H(a, b) > 0
•

Mínimo Local

fxx (a, b) > 0 e H(a, b) > 0
•

Ponto de Sela

H(a, b) < 0

13 Centro de Massa δ(x, y)dA

Mx =

yδ(x, y)dA

u v − uv v2 My =

xδ(x, y)dA

=

8 Regra da Cadeia

f (u)du = F (g(x))+k

u = g(x); du = g (x)dx

4 Integrais por Partes g (x)f (x)dx

5 Integrais Denidas

M=

u v g(x)dx

My
M
Mx y= ¯
M

x=
¯

[v(u)] = v (u).u
[uα ] = αuα−1 u
[cos u] = −(sen u)u
[sen u] = (cos u)u
[eu ] = eu u
[ln u] =
[arctg u] =

b

f (x)dx = F (b) − F (a)

2

12 Teste

[u.v] = u v + uv

f (x)dx

f (x)g(x)dx = f (x)g(x)−

11 Hessiana

[u + v] = u + v

3 Mudança de Variável f (g(x))g (x)dx =

f (x, y) · u

Du f (x, y) =

7 Regras de Derivação

f (x)dx = F (x) + k

f (x)+g(x)dx =

1 x ln a

1
[arctg x] =
1 + x2

1 dx = arcsen x + k
1 − x2

cf (x)dx = c

1 x [ln x] =

ln xdx = x ln x − x + k

√

10 Direcionais

1 u u
1
u
1 + u2

[arcsen u] = √

a

1

1 u 1 − u2

14 Outras Regras
1
[sen (a+b)+ sen (a−b)]
2
1
(sen a)(sen b) = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
(cos a)(cos b) = [cos(a + b) + cos(a − b)]
2
(sen a)(cos b) =

(sen a)2 + (cos a)2 = 1
1 cos 2a
−
2
2
1 cos 2a
(cos a)2 = +
2
2

(sen a)2 =