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Geometria de Triângulos e Polígonos
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Uma parcela importante do trabalho de geometria computacional em GIS é realizada sobre polígonos. Estes tipos de objetos são muito comuns em GIS, e são usados para representar graficamente entidades bidimensionais, tais como o contorno de edificações, propriedades, regiões de uso do solo e, genericamente, todo tipo de divisão territorial, tais como estados, municípios, bairros e setores censitários.
Assim, considerando o uso intensivo de polígonos em GIS, e a natureza das aplicações usuais, os algoritmos empregados para trabalhar com polígonos precisam ser escolhidos cuidadosamente. Neste sentido, é importante conhecer de perto o que se pode conseguir eficientemente a partir de triângulos, que além de serem os polígonos mais simples, são também figuras garantidamente planas, muito usadas na representação de superfícies. O trabalho com triângulos é bastante interessante, e facilitado pelo conhecimento de algumas de suas propriedades e formulações básicas.
Área do triângulo
Uma vez que na representação vetorial se trabalha com vértices e suas coordenadas, a fórmula elementar da geometria para cálculo da área de um triângulo (“a área de um triângulo é igual à metade do produto entre sua base e sua altura”) não é muito prática.
Em vez dela, são utilizados dois resultados equivalentes da álgebra linear. O primeiro usa o produto de dois vetores, que determina a área de um paralelogramo, o dobro da área do triângulo que interessa. Outro método calcula a área diretamente, por meio de um determinante 3x3.
C

V

A

U
B

Figura 1 - Produto vetorial dos vetores U e V, equivalente ao dobro da área do triângulo ABC
O primeiro método pode ser descrito como se segue. Sejam U e V vetores. A área do paralelogramo com lados U e V é U × V (‫ .)א‬O produto vetorial pode ser calculado a partir do seguinte determinante:

i$ xU xV

$ k $ zU = ( yU zV − zU yV )i$ + ( zU xV − xU zV ) $ + ( xU yV