Folha6 1415

I

S

C
A
Matemática Aplicada II

C

Ano Lectivo 2014/2015

Folha n.o 6

II. FUNÇÕES REAIS DE DUAS VARIÁVEIS REAIS: 6.Optimização
7.Aplicações à Gestão
1. Determine, caso existam, os extremantes locais para as funções reais de duas variáveis reais tais que:
(a) a (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 12y + 20;

(b) b (x, y) = x3 − xy2 − x2 + y 2 ;

(c) c (x, y) = x4 + y 4;

(d) d (x, y) = x4 + y 4 + x2;

(e) e (x, y) = 2x3 + 2y 3 − 6xy;

(f) f (x, y) = x + 2ey − ex − e2y ;

2

(g) g (x, y) = − (x − y 2) − y 4 − 4;

(h) h (x, y) =

x2 + y 2.

2. Considere a função real f (x, y) = (x + 1)2 + (y − 2)4 + 9, de domínio IR2 . Mostre que o ponto

(−1, 2) é o único ponto crítico de f . Verifique que f (−1, 2) = 9 é o mínimo absoluto de f .

 x2 + y 2 se (x, y) = (1, 1)
3. Considere a função real f , de domínio IR2 , definida por f (x, y) =
.
 4x se (x, y) = (1, 1)
(a) Calcule, caso exista,

lim

(x,y)→(1,1)

f (x, y).

(b) Averigue se f é contínua em (1, 1).
∂f
∂f
(c) Determine, caso existam,
(1, 1) e
(1, 1).
∂x
∂y
(d) Mostre que f não atinge um mínimo absoluto em (1, 1).
(e) Calcule, usando diferenciais, um valor aproximado de f (3.09, 1.9).
4. Utilizando multiplicadores de Lagrange determine os extremos locais de f em S:
(a) f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 e S = (x, y) ∈ IR2 : x + 2y = 1 ;
(b) f (x, y) = x2 + y 2 e S =

(x, y) ∈ IR2 :

x2 y 2
+
=1 ;
4
5

(c) f (x, y) = 2xy e S = (x, y) ∈ IR2 : x2 + y 2 = 4 ;
(d) f (x, y) = x + 2y e S = (x, y) ∈ IR2 : x2 + y 2 = 5 ;
(e) f (x, y) = −e2 x +

y2 e S = (x, y) ∈ IR2 : y = ex−1 .
2

5. Seja S = (x, y) ∈ IR2 : 2y = −x2 + 4 e h a função real, tal que h(x, y) = x2 − y 2.
(a) Mostre que o ponto (0, 2), para λ = 2, é candidato a extremante de h em S;
(b) Verifique que (0, 2) é extremante de h em S.
1

Aplicações do cálculo de extremos à Gestão
6. Determine a combinação de bens x e y que maximiza o lucro para um produtor, cuja função lucro e restrição de capacidade de produção são, respectivamente,
L (x, y) = 240x − 5x2 − 2xy − 3y 2 + 180y e x + y