FOCO

XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)

PARTE A
(Cada problema vale 4 pontos)

01. A equação do segundo grau x2 – 5x + m = 2011 tem pelo menos uma solução inteira. Qual é o menor valor inteiro positivo possível de m?

02. Uma sequência de letras, com ou sem sentido, é dita alternada quando é formada alternadamente por consoantes e vogais. Por exemplo, EZEQAF, MATEMÁTICA, LEGAL e ANIMADA são palavras alternadas, mas DSOIUF, DINHEIRO e ORDINÁRIO não são. Quantos anagramas da palavra FELICIDADE (incluindo a palavra FELICIDADE) são sequências alternadas?

03. O ângulo interno do vértice A de um triângulo acutângulo ABC mede 75 graus. A altura relativa ao vértice A toca o lado BC no ponto D. As distâncias de D ao vértice B e ao ortocentro do triângulo são ambas iguais a 10 cm. Qual é a área do triângulo ABC, aproximada para o inteiro mais próximo? Se necessário, use .

04. Qual é o maior valor possível do mdc de dois números distintos pertencentes ao conjunto {1,2,3,…,2011}?

05. Seja f uma função dos reais não nulos nos reais não nulos tal que para todos x, y, z reais não nulos tais que x + y + z = 0; para todo x real não nulo; f(2011) = 1.

Encontre o inteiro mais próximo de f(33).

XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)

PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)

PROBLEMA 1
No triângulo ABC, o ângulo BÂC mede 45º. O círculo de diâmetro BC corta os lados AB e AC em D e E, respectivamente. Dado que DE = 10, encontre a distância do ponto médio M de BC à reta DE.

PROBLEMA 2
Encontre todas as soluções reais (x, y, z) do sistema

PROBLEMA 3
Seja P(x) um polinômio de coeficientes inteiros. Sabe-se que P(x) = 2011 tem pelo menos duas raízes inteiras distintas iguais a 1 e t, e que P(x) = 0 tem pelo menos uma raiz inteira. Determine todos os possíveis valores de t.

PROBLEMA 4
Esmeralda tem um círculo de cartolina dividido em n