fisica3

Páginas: 38 (9325 palavras) Publicado: 24 de novembro de 2013
IFRN / campus Natal Central
Apostila de Física Aplicada a Engenharia

Capítulo I – Vetores Cartesianos
Capítulo II – Vetor Posição
Capítulo III – Vetor Força Orientado ao Longo de uma Reta
Capítulo IV – Produto Escalar
Capítulo V – Equilíbrio de um Ponto Material
Capítulo VI – Momento de uma Força Escalar
Capítulo VII – Sistemas de Força e Momentos
Capítulo VIII – Reações de Apoio deEstruturas Isostáticas

Prof. Marcio Varela

IFRN / campus Natal Central
Apostila de Física Aplicada a Engenharia
Capítulo I – Vetores Cartesianos
Sistemas de Coordenadas Utilizando a Regra da Mão Direita.
Esse sistema será usado para desenvolver a teoria da álgebra vetorial.

Componentes Retangulares de um Vetor
Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes ao longo dos eixos
decoordenadas x, y, z dependendo de como está orientado em relação aos
eixos.

A = A ' + Az
A ' = Ax + Ay
assim :
A = Ax + Ay + Az

(I)

Vetores Unitários
A direção de A é especificada usando-se o vetor unitário. Se A é um vetor com
intensidade A ≠ 0, então o vetor unitário que tem a mesma direção de A é
representado por:

uA =

A
A

(II)

Prof. Marcio Varela

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Apostila de Física Aplicada a Engenharia
Vetores Cartesianos Unitários
Em três dimensões, o conjunto de vetores unitários, i, j, k é usado para
designar as direções dos eixos x, y, z, respectivamente. Esses vetores serão
descritos analiticamente por um sinal positivo ou negativo dependendo da
orientação do vetor. Os vetores cartesianos unitários positivos estão
representadosabaixo.

Representação de um Vetor Cartesiano
Como as três componentes de A, figura abaixo, atuam nas direções positivas i,
j, k pode-se escrever A sob a forma de vetor cartesiano como:

A = Ax i + Ay j + Az k

(III)

Dessa forma, as componentes do vetor estão separadas e, como resultado,
simplifica as operações de álgebra vetorial,

particularmente em três

dimensões.

Prof. MarcioVarela

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Intensidade de um Vetor Cartesiano
É sempre possível obter a intensidade de A, desde que ele esteja expresso sob
a forma vetorial cartesiana. Pela figura abaixo temos:

2

A=

A' + A2 z

A' =

A2 x + A2 y

assim :
A=

A2 x + A2 y + A2 z

(IV)

Portanto, a intensidade de A é igual a raiz quadradapositiva da soma dos
quadrados de seus componentes.

Direção de um Vetor cartesiano
A direção de A é definida pelos ângulos diretores coordenados α (alfa), β (beta)
e γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos positivos x, y, z localizados
na origem de A.
Observe

que

cada

um

desses

ângulos

está

entre



e

180º,

Independentemente da orientação de A.Prof. Marcio Varela

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Apostila de Física Aplicada a Engenharia
Para determinarmos α (alfa), β (beta) e γ (gama), vamos considerar a projeção
de A sobre os eixos

x, y, z . Com referência aos triângulos retângulos

sombreados mostrados em cada uma das figuras temos:
cos α =

Ax
A

cos β =

Ay
A

cos γ =

Az
A

Uma maneira fácil de se obter oscossenos diretores de A é criar um vetor
unitário na direção de A, equação (II). Desde que A seja expresso sob a forma
de vetor cartesiano, equação III:
uA =

A
A

(II)

A = Ax i + Ay j + Az k
uA =

(III)

Ay
A
A Ax
=
i+
j+ z k
A
A
A
A

(VI)

Onde:
A=

A2 X + A2Y + A2 z

(IV)

Por comparação com as equações (V), vemos que os componentes de uA (i, j,
k), representamos cossenos diretores de A, isto é:
cos α =

Ay
Ax
A
; cos β =
; cos γ = z
A
A
A

uA = cos αi + cos β j + cos γk

(V)

(VII)

Prof. Marcio Varela

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Como a Intensidade de A é igual a raiz quadrada positiva da soma dos
quadrados da intensidade dos componentes e uA tem intensidade 1, então:
cos 2 α + cos 2...
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