Fisica
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PRÓ-REITORIA ACADÊMICANÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA
PERÍODO LETIVO 2013.1
Disciplina: ÁLGEBRA LINEAR
Professor: Ronald Santana
Turma:
Aluno:
2MC
Matricula:
ESPAÇO VETORIAL
Definição: é um conjunto não vazio de vetores V, que satisfaz duas operações:
1. Soma
V×V V
2. Multiplicação por escalar
R×V V
Tais que para quaisquer e as seguintes propriedades sejam satisfeitas:
i)
ii) iii) iv)
(
)
(
(
)
v)
)
vi) (
(
) vii) ) viii) (
)
(
)
(
)
“Espaço Vetorial é um termo genérico que pode ser designado para representar diferentes tipos de subconjuntos.”
Exemplos:
O conjunto
(
subtração usuais, isto é,
)
(
é um espaço vetorial com as operações de adição e
)
(
(
)
)
(
(
)
)
M(2,2)=V, pois todas as 8 propriedades são satisfeitas.
=V
=V
=V
( )
=V
CONTRA EXEMPLO:
Seja
(
)e
(
)
=V e a adição e a multiplicação por uma constante definidas como:
(
)
(
)
Nesse caso, a propriedade v não vale, pois:
SUBESPAÇOS VETORIAIS
Definição: dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:
i)
temos
.
ii) temos .
Observações:
1. Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por conta da propriedade iii dos espaços vetoriais)
2. Todo espaço vetorial admite, no mínimo, dois subespaços (subespaços triviais):
O conjunto formado pelo vetor nulo.
O próprio espaço vetorial.
Exemplos:
(
)
1) Seja e (
)
ou
, isto é, é o conjunto de todos os vetores do plano que têm as segunda componente igual ao dobro da primeira.
Questões:
é vazio? satisfaz as condições i e ii?
2)
=V,
, um plano que passa pela origem.
3)
=V e
(
)
Teorema: INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇO – Dados a interseção ainda será um subespaço.
Exemplo:
=V,
subespaço de um espaço vetorial V,
é uma reta de interseção dos planos
Teorema: SOMA DE SUBESPAÇOS – Sejam
conjunto