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De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada reta de 10 km de comprimento, partem duas carroças, puxada cada uma por um cavalo e andando a velocidade de 5 km/h. No instante da partida, uma mosca, que estava pousada na testa do primeiro cavalo, parte voando em linha reta, com velocidade de 15 km/h e vai pousar na testa do segundo cavalo. Após um instante desprezível, parte novamente e volta, com a mesma velocidade de antes, em direção ao primeiro cavalo, até pousar em sua testa. E assim prossegue nesse vaivém até que os dois cavalos se encontram e a mosca morre esmagada entre as duas testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca?

Esquema do problema

figura 1

Dados do problema
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∆ S = 10 km; v 1 = 5 km/h; v 2 = −5 km/h; v m = 15 km/h.

distância entre as duas cidades : velocidade do primeiro cavalo : velocidade do segundo cavalo : velocidade da mosca :
Solução

Desejamos encontrar a distância total percorrida pela mosca S m.
Em nosso problema usamos v m para indicar a velocidade da mosca, não confundir com velocidade média.
Vamos adotar que o primeiro cavalo está partindo da origem, assim a sua posição inicial será S 01 = 0, e o sinal positivo da sua velocidade indica que ele está se movendo no mesmo sentido da orientação da trajetória; o segundo cavalo está partindo da outra cidade 10 km distante e a sua posição inicial será S 02 = 10 km, o sinal negativo da velocidade indica que ele se move no sentido contrário da orientação da trajetória. A mosca também estará partindo da origem, a sua posição inicial será S 0m = 0, e ela também está se movendo no sentido de orientação da trajetória e sua velocidade é positiva.
A mosca vai voar entre os dois cavalos até estes se encontrarem, então, a primeira coisa que temos que determinar é o tempo que os cavalos levam até o encontro dos dois. Para isto vamos escrever a equação do movimento de cada cavalo, como suas velocidades são constantes eles estão