fisica 2

Páginas: 2 (393 palavras) Publicado: 22 de outubro de 2014
Disciplina: CCE0115 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 4: Integral Definida (recordando)
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), dea até b, é um
número real, e é indicada pelo símbolo:
𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎

onde:




Se

Se

a é o limite inferior de integração;
b é o limite superior de integração;
f(x) é ointegrando.

representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para

representa a área entre as curvas, para

1

Tabela de Algumas Integrais Indefinidas

Exemplos:

Técnicas de Integração –Integração por Partes
Se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis, então pela regra do produto:

Integrando ambos os lados:

2

Se u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis, então:

Esta fórmulaexpressa a integral ∫ 𝑢 𝑑𝑣 em função de outra integral, ∫ 𝑣 𝑑𝑢. Escolhendo adequadamente u
e dv pode ser mais fácil calcular a 2ª do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições para u epara dv, em geral pretendemos que dv seja o fator do integrando mais complicado que se sabia integrar.
Exemplos:

3

Integrais Múltiplas
Assim como a integral definida de uma função positiva deuma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a
integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém
seu domínio. Se houver mais deduas variáveis, a integral representa o volume de funções multidimensionais, como,
por exemplo, no retângulo.

Integrais Duplas Sobre Retângulos
Começamos nosso estudo de integrais duplas abordando otipo mais simples de região plana: um retângulo

4

5

Integrais Duplas Como Volume

Observação:
Em matemática, uma soma de Riemann é um método para aproximação da área total inferior àcurva em um gráfico,
de outro modo conhecida como uma integral.

6

7

8

Teorema de Fubini (primeira forma) para o Cálculo de Integrais Duplas

Exemplo1:

9

Exemplo 2: Calcule ∬𝑹...
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