Fenotram

Disciplina: Equações Diferenciais
Curso/Período: Engenharia Civil/3ºPeríodo – 1°Bim/2014
Revisão : Integral
Este material é dedicado para uma revisão sobre Integrais.
1.1. Integral Indefinida
Definição: Uma função F(x) é primitiva de outra função f(x) se, f(x) for a derivada de F(x), isto é, ′( ) = ( ).
Exemplos:
é primitiva de 3 sen x é primitiva de cos x
Proposição: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a função ( ) = ( ) + também é primitiva de f(x).
Em outras palavras, como a derivada de uma constante c é sempre zero e se F(x) é primitiva de f(x), então F(x)+c também é primitiva de f(x).
Definição: Se F(x) é uma primitiva da função f(x), a expressão F(x)+c é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por
( )

= ( )+

Da definição de integral indefinida, tem que:
i)
∫ ( ) = ( ) + ↔ ′( ) = ( ) ii) ∫ ( ) representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrando – tabela de integrais imediatas).
1.1.1. Propriedades
Se f e g são funções contínuas num intervalo I, então:
i)
ii) iii) ∫ Kf(x)dx = K ∫ f(x) dx
∫ f(x) + g(x) dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)d(x)
∫ f(x) − g(x) dx = ∫ f(x)dx − ∫ g(x)d(x)

Exemplo: ∫ 2t dt = 2 ∫ t dt = 2

=

+c

Nas subseções abaixo serão apresentadas integrais das funções mais usadas, as demais se encontram na tabela de integrais imediatas.
1.1.2. Integral de uma constante
Considere um número , a integral deste número é:

1

adu = au + c
Exemplo:
a) ∫ dx = x + c
b) ∫ 8dx = 8x + c
1.1.3. Integral de uma função uαdu =

uα
+ c , α ≠ −1 e constante α+1 Exemplos:
a) ∫ x dx =
b)∫ 2
c) ∫(

=

=

+c
=

=x +c

− 3 − 5)

=∫
=

−∫3

3

−

3
−5 +
1+1

−

2+1
=

− ∫5

3
−5 +
2

1.1.4. Integral da Função Exponencial
=

+

Exemplo: ∫(4 − )
Aplicando a regra da integral indefinida da função exponencial e as propriedades têm-se: (4

−

)

=

4

−