Fenomenos Ondulatorio

Páginas: 36 (8950 palavras) Publicado: 2 de junho de 2015
TE220
DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS
Bibliografia:
1. Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e
Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J.
Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17.
2. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U.
Cambridge University Press (1988)
3. The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P.,
Leighton R.B., Sands M. Addison-WesleyPublishing Company
(1977)
4. Física Vol 1. 4ta edição. Tipler P. LTC editora (1999)
1

Introdução

Como resolver estes circuitos? i(t)=?, v(t)=?, q(t)=?...
Utilizando equações no domínio dos números reais
Utilizando equações no domínio dos números complexos
A relação de Euler ei = cos + i sen (relaciona funções
harmônicas com exponenciais complexas!!!)
Vamos analisar o primeiro circuito RLCacima
2

Método da amplitude complexa

Segundo Kirchhoff

𝑞
𝑑𝐼
𝑅𝐼 + + 𝐿 = 𝑉 𝑡 = 𝑉0 cos⁡(𝜔𝑡)
𝐶
𝑑𝑡

Como i=dq/dt temos

𝑑2 𝑞
𝑑𝑞 𝑞
𝐿 2 +𝑅
+ = 𝑉0 cos⁡(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶

Com a solução do tipo:

𝑞 𝑡 = 𝑞0 𝜔 ⁡cos⁡[𝜔𝑡 − 𝛼(𝜔)]

3

Método da amplitude complexa

Utilizando Euler
= Re⁡{𝑞0 𝑒 −𝑖

𝜔𝑡−𝛼

𝑞 𝑡 = 𝑞0 𝜔 cos 𝜔𝑡 − 𝛼 𝜔

𝜔𝑡−𝛼

=

}

Passamos a trabalhar com
Onde:

= Re⁡ 𝑞0 𝑒 𝑖

𝑞 𝑡 = 𝑞0 ⁡𝑒 −𝑖

𝜔𝑡−𝛼

= 𝑞0 𝑒 𝑖𝛼 ⁡𝑒−𝑖𝜔𝑡

𝑞0 (𝜔)⁡𝑒 𝑖𝛼(𝜔) ≡ 𝑞(𝜔)

Amplitude complexa, ela contem todas as informações que
precisamos para determinar a solução unívoca da equação do
circuito!!!!!
4

Método da amplitude complexa

𝑑𝑞 𝑡
𝐼 𝑡 =⁡
= Re⁡{−𝑖𝜔𝑞0 𝑒 −𝑖
𝑑𝑡

O mesmo com I(t)

Passamos a trabalhar com
Onde:

𝑖𝜔𝑞0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼

𝜔

𝜔𝑡−𝛼

}

𝐼0 𝜔 = −𝑖𝜔𝑞0 𝑒 𝑖𝛼 = −𝑖𝜔𝑞(𝜔)

≡ 𝐼0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼

𝜔

≡ ⁡𝐼(𝜔)

Vamos agora resolver a equação do circuito RLC𝑑2 𝑞
𝑑𝑞 𝑞
𝐿 2 +𝑅
+ = 𝑉0 cos⁡(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶

5

Método da amplitude complexa
𝑑2 𝑞
𝑑𝑞 𝑞
𝐿 2 +𝑅
+ = 𝑉0 cos⁡(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶

Solução proposta é:

𝑞 𝑡 = 𝑞0 𝜔 ⁡cos⁡[𝜔𝑡 − 𝛼(𝜔)]

Procedimento no domínio dos reais ou dos complexos???
Procedimento no domínio dos números reais

Escrevemos:

cos 𝜔𝑡 − 𝛼 𝜔

= cos 𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝛼

A equação acima se transforma em:

𝐷 cos 𝜔𝑡 + 𝑆⁡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

Onde D e S contem asconstantes L, R, C e  além de q0 e 

Logo: D=V0 e S=0 e assim determinamos q0 e 

6

Método da amplitude complexa
𝑑2 𝑞
𝑑𝑞 𝑞
𝐿 2 +𝑅
+ = 𝑉0 cos⁡(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶

Solução proposta é:

𝑞 𝑡 = 𝑞0 𝜔 ⁡cos⁡[𝜔𝑡 − 𝛼(𝜔)]

Procedimento no domínio dos números complexos
Aqui definimos:

𝑞 𝑡 = Re⁡{𝑞0 𝑒 −𝑖 𝜔𝑡−𝛼 }=Re⁡{𝑞(𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 }
𝑉 𝑡 = ⁡Re⁡{𝑉(𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 }

Neste caso V()=V0 pois =0 para a fonte de tensão
Substituindo naequação temos:
−𝜔2 L −

1
iω𝑅 +
𝑞 𝜔 = 𝑉(𝜔)
𝐶

7

Método da amplitude complexa
De onde:

𝑞 𝜔 =

𝑉(𝜔)
1
− 𝜔 2 L − iω𝑅
𝐶

Cociente entre dois complexos!
O de cima é um número real (V0)
O de baixo tem modulo e ângulo de fase:
1
( − 𝜔 2 L)2 + (ω𝑅)2
𝐶

𝑡𝑔𝛿 = −

𝜔𝑅
1
− 𝜔2L
𝐶

Como a amplitude da razão entre dois números complexos é
igual à razão entre as amplitudes e o ângulo de fase é a
diferençaentre os ângulos de fase individuais, teremos:
𝑞0 𝜔 =

𝑉0

1
( − 𝜔 2 L)2 + (ω𝑅)2
𝐶

𝑡𝑔𝛼 =

𝜔𝑅
1
− 𝜔2L
𝐶

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(𝛼 = −𝛿)

8

Método da amplitude complexa
O mesmo poderia ser feito para a amplitude complexa da
corrente no circuito. Ela é obtida multiplicando q() por
(i), ou seja:
I 𝜔 ≡ 𝐼0 ω 𝑒

𝜔𝑞0 𝜔 𝑒 𝑖[𝛼

Ou seja:

𝜔

𝑖𝛽

= −𝑖𝜔𝑞 𝜔 = −𝑖𝜔𝑞0 𝜔 𝑒

𝑖𝛼 𝜔

𝜋
−2]

=⁡𝑒

−𝑖

𝜋
2

𝜔𝑞0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼

𝜔

=

𝜋
𝐼0 ω =𝜔𝑞0 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑒⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝛽 = 𝛼 −
2

O mesmo poderia ser feito para dI/dt
𝑎 𝜔 ≡ 𝑎0 𝜔 𝑒 𝑖𝛾
𝑎0 𝜔 ≡ 𝜔2 𝑞0 𝜔

𝜔

= −𝜔2 𝑞 𝜔 = ⁡ 𝜔2 𝑞0 (𝜔)𝑒 𝑖(𝛼

𝜔 −𝜋)

𝛾(𝜔) = 𝛼(𝜔) − 𝜋

9

Método da amplitude complexa
No caso geral, em que V(t) = V0 cos(t+)
Im

q(ω)

1
𝐶

Como: 𝑞 𝜔 = 1
𝐶




V()

𝑉(𝜔)
− 𝜔 2 L − iω𝑅

teremos:
1
𝐶

𝑉(𝜔)=⁡( − 𝜔2 L)𝑞 𝜔 − iω𝑅𝑞 𝜔

Re
em fase

−𝑖𝜔𝑅𝑞(𝜔)

Como:

𝑞 𝜔 ≡ 𝑞0 𝜔 𝑒 𝑖𝛼

fora defase
𝜔

→ â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜⁡𝛼

−𝜔2 𝐿q(ω)

Defasagem entre V(t) e q(t) será: 𝑡𝑔(𝛼 − 𝜙) = 1
𝐶

𝜔𝑅
− 𝜔2L

10

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DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS
Bibliografia:
1.

Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e
Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J.
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