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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática e Estatística
Departamento de Análise
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III
Professor: Fernando Lopes Cardoso
3a lista de exercícios
__________________________________________________________________
1 – Resolver as seguintes equações diferenciais exatas:
(a) * e dx  ( xe  2 y)dy  0 y y

R: xe  y  C y 2

(b) ( x  y )dx  (2 xy  cos y)dy  0
3

2

x2
R:
 y 2 x  seny  K
4

dx

(c) *



x2  y2

R: x 

dy xdy  y y x2  y2

x2  y2  K

(d) (3x  6 xy )dx  (6 x y  4 y )dy  0
2

2

2

3

R: x  3x y  y  C
3

2

2

4

dy x  xy 2
(e)
 dx y  x2 y
R: x (1  y )   y  C
2

2

2

(f) * (1  y.senx )dx  (1  cos x)dy  0
R: x  y  y cos x  C

2 – Procurar o fator integrante e resolver as seguintes equações:
(a) * xdy  ydx  x e dx
2 x

R: y  Cx  xe

x

(b) y dy  ydx  xdy  0
2

R: y  x  Cy
2

y dx  ( y 3  ln x)dy  0 x 3
R: 2 ln x  y  Cy
(c) *

3 – Movimento de um corpo colocado em um plano inclinado
Considere o plano inclinado sem atrito, com uma inclinação  e um sistema de eixos XOY como mostra a figura que segue.

As forças que agem sobre o corpo são a atração gravitacional da Terra, que



gera o seu peso P  mg , e a reação normal N da superfície do plano inclinado.
Dadas as condições iniciais

 v(0)  v0
,
 x(0)  x0

determine as expressões da velocidade e da posição em função do tempo.
Resposta: v  v0  g.t.sen ,

1 x  x0  v0 .t  .g.t 2 .sen
2

4* – Movimento de um corpo colocado em um plano inclinado - uma situação um pouco mais real

Considere agora um plano inclinado com atrito e com o corpo sujeito à resistência do ar. Além do peso e da normal do plano, o bloco está sujeito a uma





ˆ força de atrito cinético de contato f   K | N | u x , pois ele se arrasta sobre o plano, e uma força causada