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abalhoUniversidade Federal de São Carlos – UFSCar - CCA Departamento de Ciências da Natureza, Matemática e Educação Prof.ª Daniele Lozano Cálculo 2

Coordenadas cilíndricas
Vamos agora representar um ponto por um terno ordenado retangular usual de e e são coordenadas polares da projeção de as coordenadas cilíndricas de , como mostra a figura abaixo. , em que é a coordenada no plano . Assim, são

A principal aplicação de coordenadas cilíndricas consiste em simplificar certos tipos de integrais múltiplas. Suas relações com as coordenadas retangulares estão dadas no seguinte teorema: Teorema: As coordenadas retangulares estão relacionadas a seguir: , , e as cooredenadas cilíndricas de um ponto

,

Análise dos gráficos:
i) ii) Se , então o gráfico da equação , ou equivalentemente, cilindro de raio com eixo ao longo do eixo . Se de e são números, então o gráfico de é um plano perpendicular ao eixo . é um plano contendo o eixo , é um e o gráfico

As figuras abaixo ilustram essas duas situações.

i)

ii)

Às vezes é conveniente utilizar coordenadas cilíndricas para calcular integrais triplas. O caso mais simples ocorre quando de e é contínua em toda uma região da forma:

e então:

OBS: Procede-se de maneira análoga se a região for limitada por duas funções. Exemplos: 1. Escreva a equação em coordenadas cilíndricas e esboce o gráfico. 2. Escreva a equação em coordenadas retangulares e esboce seu gráfico em um sistema coordenado : b) a) 3. Estabeleça um integral tripla do sólido hemisférico quando . de raio , dado na figura abaixo,

Coordenadas esféricas
As coordenadas esféricas de um ponto conforme a figura abaixo, à projeção de sobre o eixo são dadas por um terno ordenado e o vetor , e . , em que

, é o ângulo entre . Note que e

um ângulo polar associado

Análise dos gráficos:
i) ii) iii) Se , então o gráfico de é uma esfera de raios com centro . O gráfico de consiste em um ponto, a origem. Se , o gráfico de é um meio cone de vértice em