Fatoração de produtos notaveis

Páginas: 11 (2720 palavras) Publicado: 9 de abril de 2014
http://apostilas.netsaber.com.br/ver_apostila.php?c=615
1

OS PRODUTOS NOTÁVEIS
O que é preciso saber:
Os produtos notáveis que mais se destacam na álgebra são :
( a + b )² ; ( a – b )² ; ( a + b ) ( a – b ) ; (a + b )³ ; (a – b )³
Vamos desenvolver propiedade distributivas
1) ( a + b )² = ( a + b ) ( a + b )
( a + b )² = a² + ab + ab + b²
( a + b )² = a² + 2ab + b²
2) ( a – b )² = ( a– b ) ( a – b )
( a – b )² = a² - ab – ab + b²
( a – b )² = a² -2 ab + b²
3) ( a + b ) ( a – b ) = a² - ab + ab – b²
( a + b ) ( a – b ) = a² - b²
Obs : O conjugado de (a + b ) é ( a – b ) e sempre quando os multiplicamos obtemos como
resultado a diferença entre dois quadrados ( a + b ) ( a – b ) = a² - b²
4) ( a + b )³ = ( a + b )² ( a + b )
( a + b)³ = ( a² + 2ab + b² ) ( a +b )
( a +b )³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³
( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
MACETE
Para desenvolver (a + b )4 passo a passo
1º passo : coloque a e b elevado ao expoente nas extremidades assim :
a4 .....................................................................b4
2
2 º passo : entre a4 e b4 coloque os produto ab ( n-1) vezes obtemos :
a4 + ab + ab + ab + b4
3º passo : decrescer osexpoentes a4 até a1 e crescer os expoentes b1 até b4 veja :
a4 + a³b1 + a²b² + a b + b4
4º passo : coloque o expoente ( 4 ) no coeficiente do termo seguinte e multiplique pelo
valor do expoente de a³ e em seguida dividir pela quantidade de termos :
a4 + 4a³ b1 + 6a²b² + 4 a1 b³ + 1b4
4x3=66x2=44x1=1
234
então :
( a + b )3 = a4 + 4 a³b1 + 6a²b² + 4 a1b³ + 1b1
desenvolvendo agora ( a + b )5( a + b )5 = a5 .........................................b5
(a + b ) = a5 + ab + ab + ab + ab + b5
( a + b ) = a5 a4b1 a3b² a²b³ a1b4 b5
( a + b ) = a5 + 5 a4b1 + 10a³b² + 10 a²b³ + 5 a1b4 + 1b5
5 x 4 = 10 10 x 3 = 10 10 x 2 = 5 5 x 1 = 1
2345
Obs : mesmo que entre os termos tenha sinal; no desenvolvimento do binômio coloque

sempre o sinal de mais entre eles veja:
( a – b )³ = a³ + a²(-b )1 + 3 a1 (- b )² + (-b )³
3x2=3
2
( a – b ) = a³ - 3 a²b + 3 ab² - b³
Obs: elevar mentalmente o termo negativo ao respectivo expoente e faça o produto dos
sinais
(a – b )² = a²..............................(- b² )
(a – b )² = a² - 2ab + b²
3
GENERALIZANDO
(3x² + 2y)³ = ?
ab
(a + b )³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³
SUBTITUINDO a = ( 3x² ) e b = ( 2y )
( 3x² + 2y)³ = ( 3x² )³ + 3( 3x²)² (2y) + 3( 3x² )(2y ) + (2y)³
( 3x² + 2y) = 27x6 + 3 (9x4 )(2y) + 3 ( 3x²)(4y²) + 8y³
(3x² + 2y)³ = 27x6 + 54xy + 36x²y² + 8y³
IMPORTAMTÍSSIMO : SABER DESENVOLVER PRODUTOS NOTÁVEIS É
ASSUNTO BÁSICO DE MATEMÁTICA; POR ISSO DESENVOLVÊ-LAS COM
RAPIDEZ
Veja, desenvolver :
01- ( x + a )³ = ( x + a )² ( x + a )
( x + a )³ = ( x² + 2ax + a² ) ( x + a )
( x + a )³ = x³ + ax³ + 2ax² + 2a²x + a²x +a³
( x + a )³ = x³ + 3ax² + 3a²x + a³
Obs.: ESTE MÉTODO É TRABALHOSO E LENTO FAÇA ASSIM
( x + a )³ = x ³ 3 a²x 3ax² 1 a³
3x2=3x1=
23
( x + a )³ = x³ + 3a²x + 3ax² +a³
02- ( x + a ) (x + b ) = x² + ax + bx +ab
( x + a ) ( x + b ) = x² + ( a + b ) + a..b
Então desenvolver ( x + 2) ( x + 3) = x² + 5x + 6 basta multiplicar os x em seguida somar
os termos independentes e multiplicar por “x”e em seguida multiplicar os termos
independente
Ex.01( x – 5 ) (x + 2 ) = x² -3x –10
faça isso -5 + 2 = 3
mentalmente ( -5 ) ( 2 ) = 10
Ex.02- ( x – 2 ) ( x + 2 ) = x² - 4
-2 +2 = 0
(-2 ) (+2) = -4
* NEM TUDO SÃO FLORES
4
VEJA Ex. 01- ( 2x + 3) ( x + 4)
NESTE CASO É PREFERÍVEL APLICAR A PROPIEDADE DISTRIBUTIVA

( 2x + 3).( x + 4 ) = 2x² + 8x + 3x +12
( 2x + 3 ) ( x + 4 ) = 2x² + 11x+ 12
Ex.02- 2 x + 5 x - 3 =
3724
2 x + 5 x – 3 = 2x . 1x - 2x .3 + 5 .x - 5 . 3
372432347274
2 x + 5 x – 3 = 2 x² - 6 x + 5 x – 15
3 7 2 4 6 12 14 28
MMC 6 , 12 , 14 , 28 2
3 , 6 , 7 , 14 2
3 , 3, 7 , 7 3
1,1,7,77
1 , 1 , 1 , 1 84
28x² - 42x + 30 – 45 =
84
28x² - 12x – 45
84
COMO SABER SE O PRODUTO ESTÁ CORRETO ?
BASTA ATRIBUIR VALORES NUMÉRICOS
VEJA EX.01( x + 2 ) ( x + 3 )...
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