fórmulas geometria espacial

Páginas: 48 (11782 palavras) Publicado: 1 de dezembro de 2014
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Notas de Aula de Cálculo
Integração Múltipla

1 de dezembro de 2013
Cristiana Poffal

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Universidade Federal do Rio Grande - FURG

NOTAS DE AULA DE CÁLCULO


1

Notas de aula de Cálculo - FURG

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Sumário
1 Integração Múltipla

3

1.1

Integral simples de funções de 2 variáveis . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Propriedades da integral dupla . . . . . . . .. . . . . . . . . .

7

1.2.2

Integrais iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

1.4

1.5

Integrais duplas e o cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1

Regiões verticalmente simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2

Regiões horizontalmente simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Integrais duplas e ocálculo de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1

Volumes de regiões com domínio de integração retangular . . . 24

1.4.2

Volumes de regiões com domínio de integração não retangular

27

Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.1

Massa de uma lâmina plana de densidade variável . . . . . . . 36

1.5.2

Momentos e Centro deMassa de uma lâmina plana de densidade variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.3
1.6

Centróides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Integral tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6.1

Propriedades da integral tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.6.2

Integral tripla como integraliterada . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.6.3

Integrais iteradas em regiões não retangulares . . . . . . . . . 47

1.7

Integral tripla e o cálculo de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.8

Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.8.1

Massas e Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.8.2

Centro deMassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2

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Capítulo 1
Integração Múltipla
Neste capítulo estuda-se o o conceito de integração múltipla esuas aplicações ao cálculo de áreas e volumes.

1.1

Integral simples de funções de 2 variáveis
Calculam-se as derivadas parciais de funções de 2 variáveis derivando

estas funções em relação à variável indicada e considerando a outra como constante.
Do mesmo modo, pode-se calcular a integral indefinida de funções de 2 variáveis,
ou seja, integram-se essas funções em relação à variávelindicada no elemento de
integração e se considera como constante a outra variável.

Exemplo 1.1.1. Calcule I =

12x2 y 3 dy.

Solução:
Para calcular I com o elemento de integração dy, considera-se x2 como
constante:
I = 12x2

y 3 dy = 12x2

y4
+ Cx .
4

É importante lembrar que a constante Cx engloba tanto números quanto
fatores com potências de x, pois x foi considerado como...
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