Expansão em série de Fourier complexa

Páginas: 3 (665 palavras) Publicado: 18 de setembro de 2014
˜
´
EXPANSAO EM SERIE DE FOURIER COMPLEXA

Dinamica de Sistemas Discretos - 2013/1 - PEC/COPPE/UFRJ

1

Introdu¸˜o
ca

Este trabalho visa apresentar a expans˜o de uma fun¸˜o em s´rie deFourier complexa e aprea
ca
e
sentar a sua solu¸˜o num´rica. Para isto, foi elaborado uma rotina computacional em MATLAB
ca
e
com a implementa¸˜o do m´todo de expans˜o de modo a tornar poss´
cae
a
ıvel a apresenta¸˜o dos
ca
gr´ficos da evolu¸˜o da solu¸˜o num´rica e da solu¸˜o anal´
a
ca
ca
e
ca
ıtica da fun¸˜o ao longo do tempo.
ca
Al´m disto, ser˜o exibidos os espectros das´rie no dom´
e
a
e
ınio da frequˆncia.
e

2

Metodologia

De acordo com Rao[1], a expans˜o de uma fun¸˜o em s´rie de Fourier complexa pode ser realizada
a
ca
e
pela solu¸˜o num´rica chamadade Discrete Fourier Transform (DTF), cuja a forma geral ´ dada
ca
e
e
por:
1 N −1
Fk =
fr e−i(2πkr/N )
N r=0
onde: N ´ o total de pontos amostrados, fr : coordenada y da fun¸˜o expandida noinstante r e
e
ca
k = 0, 1, · · · , N − 1.
Dada esta transforma¸˜o, ´ poss´ obter os espectros no dom´
ca e
ıvel
ınio da frequˆncia da seguinte
e
forma:
a) Parte Real = Real(Fk )
b) ParteImagin´ria = Imag(Fk )
a
c) Amplitude =

Real(Fk )2 + Imag(Fk )

Imag(Fk )
ˆ
d) Angulo de fase = arctan
Real(Fk )
Finalmente, para determinar a aproxima¸˜o num´rica da fun¸˜o analisadatoma-se a parte
ca
e
ca
real da transformada inversa, ou Inverse Discrete Fourier Transform (IDTF), cuja a forma geral
´:
e
1 N −1
fr =
Fk ei(2πkr/N )
N r=0
onde: r = 0, 1, · · · , N − 1.

1 3
3.1

Resultados
Exemplo 1: f (t) = 10sen(2π5t) + sen(2π100t)

Neste exemplo, utilizou-se a fun¸˜o f acima descrita, definida no intervalo real [0,0.4]. A fun¸˜o
ca
ca
f possui per´
ıodoigual 0.2 e a expans˜o foi discretizada em at´ 1500 pontos. Nas figuras abaixo,
a
e
tomou-se N = 100 para melhor ilustra¸˜o da solu¸˜o aproximada.
ca
ca

Figura 1: Compara¸˜o da fun¸˜o anal´...
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