Exercícios Resolvidos Stewart Cap 04

PROBLEMAS DE DESAFIO

Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins (IMECC/Unicamp)

EXERCÍCIOS
CAPÍTULO 4
1. Encontre o valor máximo absoluto da função

f ( x) =

1
1
+
1+ x
1+ x - 2

2. (a) Seja ABC um triângulo com ângulo reto A e hipotenusa a = BC . (Veja a figura.) Se o

círculo inscrito toca a hipotenusa em D, mostre que
CD =

1
2

( BC

+ AC - AB )

1
C ,
2

(b) Se q = expresse o raio r do círculo inscrito em termos de a e q.
(c) Se a é fixo e q varia, encontre o valor máximo de r.

C

3. Um triângulo com os lados a, b e c varia com o tempo t, mas sua área nunca muda. Seja q o

ângulo oposto ao lado do comprimento a e suponha que q permaneça sempre agudo.
(a) Expresse dq/dt em termos de b, c, q, db/dt e dc/dt.
(b) Expresse da/dt em termos das quantidades na parte (a).

D

4. Sejam a e b números positivos. Mostre que nenhum dos números a (1 – b) e b(1 – a) pode ser
A

B

FIGURA PARA O PROBLEMA 2

maior que 14 .
5. Seja ABC um triângulo com  BAC = 120 e AB ⋅ AC = 1.

(a) Expresse o comprimento da bissetriz AD em termos de x = AB .
(b) Encontre o maior valor possível de AD .

PROBLEMAS DE DESAFIO
RESPOSTAS
CAPÍTULO 4
1.

4
3

3. (a)

é 1 dc 1 db ù dq + ⋅ ú
= - tg q ê ⋅ êë c dt dt b dt ûú

(b) da = dt 5. (a) y =

(b)

1
2

b

db dc æç dc db ö
+c
- çb + c ÷÷÷ sec q dt dt çè dt dt ø b2 + c2 - 2bc cos q

x
,x>0
x2 + 1

Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins (IMECC/Unicamp)

PROBLEMAS DE DESAFIO

Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins (IMECC/Unicamp)

SOLUÇÕES
CAPÍTULO 4
1.

1
1
+
1+ x
1+ x - 2
1
ïìï 1
+
ïï
1
1
(
x x - 2) ïï ïï 1
1
= ïí
+
ïï1 + x 1 - ( x - 2) ïï 1 ïï 1
+
ïï ïî1 + x 1 + ( x - 2)

f ( x) =

se x < 0 se 0 £ x < 2



se x ³ 2

ì
1
1 ï ï
+
ï
2
ï
(1
)
(3
x x )2 ï ï ï 1 ï -1 f ¢( x) = ï
+
í
2
ï
(1
)
(3
x x )2
+
ï ï ï
1
-1 ï ï ï 2 ï ( x - 1)2 ï î (1 + x)

se x < 0 se 0 < x < 2 se x > 2

Note que f ¢(x) > 0 para x < 0 e f ¢(x) < 0 para x > 2. Para 0 < x < 2, temos f ¢( x) =

1
1
( x2 + 2 x + 1) - ( x2 - 6 x + 9)
8( x - 1)
,
=
=
2
2
(3 - x)
( x + 1)
(3 -