Exercícios resolvidos de edo

Cálculo IV Avaliação a Distância n.º 1
Questão 1) Determine se a equação diferencial dada é linear ou não linear. Qual a ordem de cada equação? a) (0,5 ponto) (1 − x) y − 4xy + 5y = cos (x). Solução: A equação dada é linear, uma vez a função desconhecida y e suas derivadas aparecem na equação na forma de funções lineares de y ou das derivadas de y. A equação é de segunda ordem, uma vez que maior derivada de y presente na equação é a segunda derivada. b) (0,5 ponto) dy = dx 1+ d2 y dx2
2

.

Solução: A equação dada é não linear, uma vez a segunda derivada da função desconhecida y √ d2 aparece na equação na forma de função não linear, F (u) = 1 + u2 , u = dxy . A equação 2 é de segunda ordem, uma vez que maior derivada de y presente na equação é a segunda derivada. Questão 2) (1,0 ponto) Resolva a EDO: dy = dx Solução: Reescrevendo a equação, temos: (2y + 3) dy dx dy = 2 ⇒ 2 = 2 dx (4x + 5) (2y + 3) (4x + 5) Integrando ambos os lados da igualdade, dy (2y + 3)
2 2

2y + 3 4x + 5

2

=

dx (4x + 5)
2

⇒

(2y + 3)

−2

dy =

(4x + 5)

−2

dx

(1)

Fazendo u = 2y + 3 e v = 4x + 5, temos: d du = (2y + 3) = 2 ⇒ dy = dy dy dv d = (4x + 5) = 4 ⇒ dx = dx dx du 2 dv 4

Substituindo u = 2y + 3, dy = u−2 du = 2 v −2 dv 1 ⇒ 4 2

du 2 ,

v = 4x + 5 e dx = 1 4 v −2 dv ⇒

dv 4

na equação (??), temos:

u−2 du =

1 1 2v −1 −u−1 = −v −1 +C1 ⇒ u−1 = −2C1 2 4 4

Fazendo C = −2C1 , temos: u−1 =

v −1 +C 2

(2)

Substituindo u = 2y + 3 e v = 4x + 5 na equação (??), temos: (2y + 3) (4x + 5) 1 1 2C (4x + 5) + 1 C (8x + 10) + 1 +C ⇒ = +C = = ⇒ 2 2y + 3 2 (4x + 5) 2 (4x + 5) 8x + 10 8x + 10 8x + 10 8x + 10 3 2y + 3 = ⇒ 2y = −3⇒y = − ⇒ C (8x + 10) + 1 C (8x + 10) + 1 2C (8x + 10) + 1 2
−1 −1

=

y=

4x + 5 3 − C (8x + 10) + 1 2 1

Questão 3) (2,0 ponto) Resolva a EDO: 1 dy + cos (x) − 2xy = y [y + sen (x)] ; 1 + y2 dx Solução: Reescrevendo a equação, temos: 1 1 + cos (x) − 2xy dy = y [y + sen (x)] dx ⇒ −y [y + sen (x)] dx+ + cos