Exercícios cálculo i
Δx → 0
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) . Δx
1.1
f ( x ) = x − 3 ; x0 = 4 .
Δx → 0
lim
f (4 + Δx ) − f (4) 4 + Δx − 3 + 1 = lim Δx → 0 Δx Δx 4 + Δx − 2 4 + Δx + 2 = lim Δx → 0 Δx 4 + Δx + 2
(
(
)(
)
)
= lim
Δx → 0
Δx
(
1 = . 4 4 + Δx + 2
Δx
)
1.2
Portanto o gráfico admite reta tangente no ponto (4, −1) e seu coeficiente angular é 1 . 4 1 Achar a equação: y = x + b . Para achar b substituímos x por 4 e y por −1 , 4 x obtendo b = −2 . A equação da reta tangente é: y = − 2 . 4 se x ≤ 0 ⎧ ⎪ x, f ( x) = ⎨ , P(0,0) ; x0 = 0 . ⎪ x , se x > 0 ⎩
Como a função está definida através de 2 sentenças, uma à esquerda e outra a direita de 0, devemos calcular os limites laterais: lim− f (0 + Δx ) − f (0) Δx − 0 = lim− = 1. Δx → 0 Δx Δx f (0 + Δx ) − f (0) Δx − 0 1 = lim+ = = +∞ . Δx →0 Δx Δx Δx
Δx → 0
e
Δx → 0
lim+
Como os limites laterais são diferentes e não são ambos infinitos, o gráfico não possui reta tangente nesse ponto. 1.3 f ( x ) = x 2/3 ; x0 = 0 .
( Δx ) f (0 + Δx ) − f (0) lim = lim Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx
2/3
= lim
1
Δx → 0
( Δx )
1/3
= lim
Δx → 0 3
1 . Δx
Agora note que este limite não é finito. Mas os limites laterais são ambos infinitos, ou seja, 1 1 lim− 3 = −∞ e lim+ 3 = +∞ . Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx
1
Concluímos que a reta tangente é x = 0 que é o eixo Y . 2) a) f ′(1) = lim f (1 + Δx ) − f (1) Δx → 0 Δx 1 + 3Δx + 3Δx 2 + Δx 3 − 5 − 5Δx + 1 + 3 = lim Δx → 0 Δx 2 −2Δx + 3Δx + Δx 3 = lim Δx → 0 Δx = lim ( −2 + 3Δx + Δx 2 ) = −2.
Δx → 0
b)
f ′( x ) = lim
f ( x + Δx ) − f ( x ) Δx → 0 Δx 3 x + 3x 2 Δx + 3 xΔx 2 + Δx 3 − 5 x − 5Δx + 1 − x 3 + 5 x − 1 = lim Δx → 0 Δx 3 2 3 Δ x + 3 x Δx + Δ x = lim = 3x 2 − 5. Δx → 0 Δx
3.
Devemos calcular as derivadas laterais a) f −′ (3) = lim−
Δx →0
f (3 + Δx ) − f (3) Δx 2(3 + Δx ) 2 +