Exercício1

Valéria Cristina F. Barbosa
Observatório Nacional

TEORIA DA INVERSÃO
Exercício prático N. 1
Este exercício:
(a) ilustra os estágios de um processo de inversão;
(a) fornece uma visualização da instabilidade no espaço de observações; e
(b) permite proceder a um desenho de experimento para tornar as soluções mais estáveis. Problema geofísico: deseja-se, a partir de um perfil observado do campo magnético, estimar a componente do campo geomagnético.
Simplificações: presume-se que o campo geomagnético possa ser aproximado por um polinômio de grau 1. Esta simplificação será válida para áreas pequenas onde o campo geomagnético varia linearmente.
Relação funcional:

yi = ax i + b + r i , em que:

yi é o campo magnético observado em xi; ax i + b é uma aproximação do campo geomagnético; r i é o resíduo, representado pelas distorções espaciais

do campo geomagnético, em geral causadas por distribuições irregulares de minerais ferromagnéticos na crosta.

Problema matemático: Encontrar a e b tal que ri = yi - axi + b seja mínimo. Como há vários pontos de medida xi, é necessário minimizar uma norma do vetor r ∈ {ri}. Seja a norma l2:

min rTr = min (yo- Ap )T(yo- Ap ) , em que

Tópico 5: Exercício 1 – (script Matlab ex1.m)

1

Valéria Cristina F. Barbosa
Observatório Nacional

⎡ x1
⎢x
⎢ 2
⎢ .
A= ⎢ .
⎢
⎢ .
⎢⎣ x N

1⎤
1⎥⎥
⎥
1⎥
⎥
⎥
1⎥⎦

e

⎡a⎤ p = ⎢b⎥ .
⎣ ⎦

A condição para existência do mínimo é

∇ p

{ r T r }= 0

, ou

∇ p { (yo- Ap )T(yo- Ap ) }= 0 , cuja solução é:

(

pˆ = A T A

)− 1 A T y o

⎡aˆ ⎤
Neste programa o vetor pˆ = ⎢ ˆ ⎥ é computado e o ajuste A pˆ , que é a estimativa do
⎣b ⎦ campo geomagnético é obtida e plotada.

O usuário de entrar com os seguintes parâmetros:
1) O número de observações N;
2) O percentual de ruído nas observações (valor entre 0 e 1);
3) A semente para o gerador de números pseudo-aleatórios;
4) As abcissas xi dos pontos de observação.

OBSERVAÇÕES:
(a) As observações verdadeiras (y1,y2, ... yn), bem como as contaminadas

por ruído