Exercicios

Calculo Diferencial e Geometria Anal´tica - 2013.2 ı ´
Lista I setembro - 2013
Equipe de Matem´ tica, Bacharelado em Ciˆ ncia e Tecnologia, UFMA - Campus Cidade Universit´ ria a e a Operacoes com Limites.
¸˜
1 Usando um teorema adequado, demonstre que lim xn sen x→0 1
= 0, x onde n e um numero inteiro poistivo par.
´
´
2 Calcule o limite da funcao dada por
¸˜
f (x) =

|x|
.
x

3 Baseado na quest˜ o anterior, responda se a funcao tem limites laterais em x = 0. a ¸˜
4 Seja

√

f (x) =

2−x
4

0

se x < 2 se x = 2

Verifique se esta funcao possui limite em x = 2. Caso n˜ o possua justifique sua resposta.
¸˜
a
5 Seja f (x) =

x + 1 se x∈Q −x + 1 se x ∈ R − Q

Verifique se esta funcao possui limite em algum ponto. Em qualquer um dos casos,
¸˜
possui ou n˜ o, justifique sua resposta. a 6 Mostre que se a > 1 e β ∈ R, ent˜ o a ax
= +∞ x→∞ x ax (b) lim β = +∞ x→∞ x
(a) lim

7 Calcule os limites abaixo:
(1 + x)3 − (1 + 3x + 3x2 )
;
x→0 x4 + x3 x2 − 4
;
lim 3 x→2 x − 2x2 + x − 2 x2 − (a + 1)x + a lim ; x→a x3 − a3
1
3
−
; lim x→1 1 − x
1 − x3
(x + h)3 − x3
.
lim h→0 h

(a) lim
(b)
(c)
(d)
(e)

8 Calcule os limites abaixo:
√
1+x−1
(a) lim √
;
x→0 3 1 + x − 1
√
x−1
;
(b) lim √
3
x→1 x−1 √
√
1+x− 1−x
;
(c) lim x→0 x
√
√ x+h− x
(d) lim
;
h→0 h √
√
3 x+h− 3x
(e) lim
.
h→0 h 9 Calcule os limites abaixo:
2x2 − 3x − 4
;
√
4
x→∞ x2 + 1
100x
lim
;;
x→∞ x2 − 1 x2 − 5x + 1 lim ; x→∞ 3x + 7 x2 lim
√ ; x→∞ 10 + x x
2x + 3 lim √ . x→∞ x + 3 x

(a) lim
(b)
(c)
(d)
(e)

10 Calcule os limites abaixo:
2x2 − 3x − 4
;
√
4
x→∞ x2 + 1
100x
(b) lim 2
;;
x→∞ x − 1
(a) lim

2

x2 − 5x + 1
;
x→∞
3x + 7 x2 (d) lim
√ ; x→∞ 10 + x x
2x + 3
(e) lim
√ . x→∞ x + 3 x
(c) lim

Limites Fundamentais
A presente secao far´ uso dos seguintes limites:
¸˜
a lim x→0

senx
=1
x

e lim 1 +

x→∞

1 x x