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Métodos Numéricos
Resolução da Lista de Exercícios - Danilo Fernandes
10 de junho de 2013

1. Considere a Eq. de Laplace em duas dimensões,
∂2ϕ ∂2ϕ
+
=0
∂x2
∂y 2

(1)

(a) Resolver por separação de variáveis em coordenadas cartesianas.

Solução
Supondo que tenhamos uma função ϕ = ϕ(x, y) do tipo ϕ(x, y) = X(x).Y (y), assim, aplicando teremos as seguintes derivadas parciais: ϕ(x, y) = X(x).Y (x)
∂ϕ
∂2ϕ
= X (x).Y (y) →
= X (x).Y (y)
∂x
∂x2
∂ϕ
∂2ϕ
= X(x).Y (y) →
= X(x).Y (y)
∂y
∂y 2

Voltando à equação (1) teremos:
X (x).Y (y) + X(x).Y (y) = 0(: ϕ)
X
Y
+
=0
X
Y

Através do último passo, podemos separar a equação em duas partes:
X
= C2
X

(constante)

(2)

E
Y
= −C 2
Y

De (2) temos, através de resolução por polinômio característico - com proposta de solução X(x) = eλx : eλx (λ2 − C 2 ) = 0 → (λ2 − C 2 ) = 0

∴ λ = ±C → X(x) = A1 sinh(cx) + B1 cosh(−cx)

1

(3)

Com A1 e B1 constantes a serem determinadas.
De (3), analogamente, com proposta de solução Y (y) = eσy : eσy (σ 2 + C 2 ) = 0 → (σ 2 + C 2 ) = 0

∴ σ = ±iC → Y (y) = A2 sin(cy) + B2 cos(cy)

Com A2 e B2 constantes a serem determinadas.
Assim, a solução geral será do tipo: ϕ(x, y) = (A1 sinh(cx) + B1 cosh(−cx)) (A2 sin(cy) + B2 cos(cy))

(b) Resolver por separação de variáveis em coordenadas polares

Solução
Agora, temos uma função do tipo ϕ(ρ, θ) = R(ρ).Θ(θ) e a equação de Laplace é dada por:
1 ∂ ρ ∂ρ

ρ

∂ϕ
∂ρ

+

1 ∂2ϕ
=0
ρ2 ∂θ2

(4)

Aplicando a condição (4), teremos:
Θ(θ) ∂ ρ ∂ρ

ρ

ρ 1 ∂
R(ρ) ρ ∂ρ

dR(ρ) dρ ρ

dR(ρ) dρ +

R(ρ) d2 Θ(θ)
1
=0 : ρ2 dθ2 ϕ +

1 d2 Θ(θ)
=0
Θ(θ) dθ2

Com a seguinte condição:
1 d2 Θ(θ)
= −M 2
Θ(θ) dθ2

Portanto: ρ2 d2 R(ρ) dR(ρ) +ρ
− M 2 R(ρ) = 0
2
dρ dρ 2. [. . . ] Se ϕ(x, y) é dado ao longo de um quadrado cujos vértices se encontram nos pontos (0, 0), (L, 0), (0, L) e
(L, L) e tal que ϕ(x, L) = ϕ(x, 0) = 1 e ϕ(0, y) = ϕ(L, y) = 0,