Exercicios vetores

Páginas: 21 (5088 palavras) Publicado: 18 de setembro de 2014
Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial
1. Como pode ser descrito o conjunto R2 ?
Solução: R2 é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e pode ser descrito como {(x,y) 
x R e y  R}.
2. Qual a condição para que dois pares ordenados sejam iguais ?
Solução: Dizemos que os pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d.
3. Determine x de modo queos pontos A=(2, 4) seja igual ao ponto B=(x, 2x).
Solução: Para que A e B sejam iguais, as coordenadas (x,y) de ambos os pontos deverão ser iguais, ou
seja, 2 = x e 4 = 2x. Assim, o valor de x=2 irá satisfazer às duas condições.
4. Determine os valores de x e de y de modo que (2x, y + 3) = (10, 10).
Solução: Deveremos ter 2x = 10  x = 5 e y + 3 = 10  y = 7.
5. Determine os valores de x e dey de modo que (x + y, x – y) = (4, 2).
x  y  4
 x  3 e y  1.
Solução: Deveremos ter 
x  y  2
6. Em quantos quadrantes podemos dividir o plano cartesiano ?
Solução: O plano cartesiano é dividido em 4 quadrantes conforme mostrado no diagrama.

7. Quais são as características dos pontos que pertencem ao primeiro quadrante de R 2 ?
Solução: Os pontos que pertencem ao primeiroquadrantes de R 2 deverão ter x > 0 e y > 0.
8. Quais são as características dos pontos que pertencem ao segundo quadrante de R2 ?
Solução: Os pontos que pertencem ao segundo quadrantes de R2 deverão ter x < 0 e y > 0.
9. Quais são as características dos pontos que pertencem ao terceiro quadrante de R2 ?
Solução: Os pontos que pertencem ao terceiro quadrantes de R 2 deverão ter x < 0 e y < 0.
10.Quais são as características dos pontos que pertencem ao quarto quadrante de R2 ?
Solução: Os pontos que pertencem ao quarto quadrantes de R 2 deverão ter x > 0 e y < 0.
11. Quais são as características dos pontos que pertencem ao eixo das abscissas de R2 ?
Solução: Os pontos que pertencem ao eixo das abscissas de R 2 , ou seja, ao eixo x, deverão ter x  0 e
y = 0.
12. Quais são ascaracterísticas dos pontos que pertencem ao eixo das ordenadas de R 2 ?
Solução: Os pontos que pertencem ao eixo das ordenadas de R2 , ou seja, ao eixo y, deverão ter x = 0 e
y  0.
13. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine A + B.
Solução: A + B = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d).
14. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine A - B.
Solução: A - B = (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d).

Prof. AndréAssumpção

15. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine 2A + 3B.
Solução: 2A +3B =2.(a,b) + 3.(c,d) = (2a ,2b ) + (3c,3d) = (2a+3c,2b+3d).
16. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine 2A - 3B.
Solução: 2A -3B =2.(a,b) - 3.(c,d) = (2a ,2b ) - (3c,3d) = (2a -3 c,2b-3d).
17. Dados os pontos A=(a,b), B=(c,d) e C=(e,f), demonstre que (A+B) + C = A + (B+C).
Solução: (A + B) + C = [(a,b) +(c,d)] + (e,,f) = (a+c,b+d) + (e,,f) = (a+c+e,b+d+f) = [a+(c+e),
b+(d+f)] = (a,b) + (c+e,d+f) = (a,b) + [(c+e,d+f)] = A + (B+C).
18. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), demonstre que A+B = B+A.
Solução: A + B = (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b) = B + A.
19. Demonstre que o elemento neutro da adição de pares ordenados em R2, é o par O=(0,0).
Solução: Sendo A = (a,b), e A + O = A,então (a,b) + O= (a,b) O = (a,b) – (a,b)  O = (a-a,b-b) 
O = (0,0).
20. Demonstre que para todo A=(a,b)  R2, existe –A tal que A + (-A) = 0.
Solução: Sendo A=(a,b)  R2 e A + B = 0, então (a,b) + B = (0,0)  B = (0,0) – (a,b)  B = (0-a,0-b)
 B = (-a, -b). Como –a e –b  R, então B = (-a,-b) = -A  R2.
21. Sendo A e B  R2 e k  R, demonstre que k(A + B) = kA + kB.
Solução: Supondo queA = (a,b) e B = (c,d), k(A + B) = k(a+c, b+d) = (k(a+c), k(b+d)) = (ka+kc,
kb+kd) = (ka, kb) + (kc,kd) = k(a,b) + k(c,d) = kA + kB.
22. Sendo k e h  R e A  R2, demonstre que A(k + h) = kA + mA.
Solução: Supondo que A = (a,b), A(k + h) = (a,b).(k+h) = (a.(k+h), b.(k+h)) = (ak+ah, bk+bh) =
(ak,bk) + (ah,bh) = kA + hA .
23. Sendo k e h  R e A  R2, demonstre que k(hA) = (k.h)A.
Solução:...
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