Exercicios Fundamentos de Álgebra com resolução

´
Fundamentos de Algebra:
Exerc´ıcios 4, Umas
Solu¸co˜es

1. Utilize o algoritmo de Euclides para calcular d = mdc(a, b) e escrever d = xa + yb, sendo
(a) a = 232, b = 136
(b) a = 187, b = 221
(c) a = −39, b = 17.
R:
(a) 8
(b) 17
(c) 1
2. Encontre os poss´ıveis valores de a ∈ Z tal que mdc(20 + a, a) = 4.
R: Observe primeiro que mdc(20 + a, a) = 4, implica que 4 | a. Mas quando 4 | a, podemos escrever a = 4k e temos que
20 + a = 20 + 4k = 4(5 + k), logo 4 | (20 + a) tamb´em, logo 4 | mdc(20 + 4k, 4k). Estamos procurando k tal que mdc(4(5 + k), 4k) = 4. Logo, estamos procurando k tal que mdc(5 + k, k) = 1. Seja d = mdc(5 + k, k). Ent˜ao d | k e d | (5 + k), logo d | (5 + k) − k = 5. Segue que d = 5 ou 1.
5 | k =⇒ 5 | (5 + k) =⇒ mdc(5 + k, k) = 5.
5 | k =⇒ 5 | mdc(5 + k, k) =⇒ mdc(5 + k, k) = 1.
Logo, os a tais que mdc(20 + a, a) = 4 s˜ao os a tais que 4 | a mas 5 | a.
3. Se p ´e um primo e mdc(a, b) = p, quais s˜ao os poss´ıveis valores de mdc(a2 , b)? E de mdc(a2 , b2 )?
R: Observamos primeiro que nenhuns primos al´em de p dividem mdc(a2 , b)
(ou mdc(a2 , b2 )). Seja q = p primo. Ent˜ao q | mdc(a2 , b) implica que q | b e q | a2 . Mas q | a2 implica que q | a pois q ´e primo, logo q | mdc(a, b) tamb´em – imposs´ıvel, pois mdc(a, b) = p.
Logo mdc(a2 , b2 ) = pn para algum n. Dois casos:

1

Caso p2 | b: Logo p divide a mas p2 n˜ao divide a. Segue que p2 divide a2 mas p3 n˜ ao divide a2 . Logo mdc(a2 , b) = p2 .
Caso p2 | b: logo p2 | mdc(a2 , b) e mdc(a2 , b) = p.
Agora consideramos mdc(a2 , b2 ). Temos que p2 | a ou p2 | b, mas p | a e p | b. Logo p2 | a2 e p2 | b2 , mas p3 | a ou p3 | b. Logo a u
´nica possibilidade
´e ‘mdc(a2 , b2 ) = p2 .
4. Seja n um natural tal que mdc(n, 6) = 1. Mostre que n2 − 1 ´e m´ ultiplo de
12.
Escreve n = 6k + r por algum k e algum r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Sabemos que r = 0, 2, 3, 4 pois nestes casos, mdc(n, 6) = 1. Logo n = 6k + 1 ou 6k + 5.
Caso n = 6k + 1: Logo n2 − 1 = (6k + 1)2 − 1 = 36k 2 + 12k + 1 − 1 = 12(3k 2 + 1), logo 12 |