Exercicio de Fixação

Páginas: 6 (1299 palavras) Publicado: 4 de dezembro de 2013
Resumo de Geometria Euclidiana
2013.2 DM.UFRPE
José Alan Farias

.
Conceitos primitivos:

(Sem denição precisa, apenas intuitiva)

1) Ponto: Aquilo de que nada é parte. Dois pontos se distinguem apenas por suas
localizações.

2) Linha: Comprimento sem largura.
3) Superfície: Aquilo que só tem comprimento e largura(dimensão 2).
4) Plano: Superfície que é a "união"(por cada pontopassa uma reta totalmente contida

nele) de retas.

ATENÇÃO: O ambiente de nossa geometria será sempre um plano xado.
Axioma/Postulado: Noção aceita sem a necessidade de demonstração.
Axiomas de Incidência: (Incidir=passar

por)

I1 ) Para toda reta existem pontos sobre ela e fora dela.
I2 ) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

Proposição 1: No plano, duas retas distintas ouse intersectam ou têm um único ponto
em comum.

1

.

Denição 1:
Retas paralelas: Não têm pontos em comum.
Retas concorrentes: Têm um único ponto em comum.
Retas coincidentes: Têm ao menos dois pontos em comum.
Axiomas de Ordem: (Ordem=ordenar

pontos)

O1 ) Para três pontos distintos de uma reta, apenas um está localizado entre os outros dois.

Denição 2: Segmento determinadopelos pontos A e B:
AB = {A, B}∪ {pontos entre A e B}

Denição 3: Semi-reta determinada pelos pontos A e B, com origem em A:
SAB = {A, B}∪ {pontos C, tal que B está entre A e C}

Proposição 2:
a) SAB ∪ SBA = rAB (reta determinada por A e B)
b) SAB ∩ SBA = AB
O2 ) Sempre existem:

i) Um ponto entre outros dois distintos.
ii) Um ponto C tal que A está entre C e B, com A e B distintos.Denição 3:(Lados de uma reta)
a) A,B do mesmo lado de r se AB ∩ r = φ
b) A,B de lados opostos de r se AB ∩ r = φ
AB = {A, B}∪ {pontos entre A e B}

2

.

Denição 4:(Semi-Planos)
a) Determinado pelo ponto A e pela reta r: πAr ={B; AB está em um mesmo lado
de r}
b) Oposto determinado por A e r: π−1 Ar ={B; AB estão em lados opostos de r}
AB = {A, B}∪ {pontos entre A e B}
O3 ) Umareta r determina exatamente dois semi-planos distintos, cuja "fronteira"(pontos
sem lado denido com respeito a r) é a reta r.
Axiomas de Medição de segmentos: (Medir=dar

um comprimento)

M1 ) A todo par de pontos no plano está associado um número(distância,

mento) maior ou igual a zero. E esse número é zero caso os pontos coincidam.

compri-

M2 ) Cada ponto de uma reta pode serposto em correspondência biunívoca com um

número real(coordenada do ponto), de modo que o módulo da diferença entre as coordenadas de dois pontos meça a distância entre eles:
d(A, B) = AB = |a − b|
M3 ) Se um ponto C está entre outros dois A, B , então:
d(A, B) = d(A, C) + d(C, B)

Ordenação de Pontos: Dizemos que A ∗ B (A à esquerda de B) se a < b.
Proposição 3: Se AC ⊂ SAB e AC < AB , entãoC está entre A e B.
Teorema 1:(Precisar a noção de estar entre)

C está entre A e B se, e somente se A ∗ C ∗ B ou B ∗ C ∗ A( c está entre a e b).

Denição 5: Ponto Médio de AB : M ∈ AB tal que AM = M B .
Teorema 2:(Existência e unicidade do ponto médio) Um segmento de reta tem exatamente um ponto médio.

3

.

Denição 5: Sejam um ponto A e um número real positivo r. Denimos:
i)Um circulo de centro A e raio r como o conjunto:
Γr (A) = {B; AB = r}

ii) O interior de Γr (A) como o conjunto:
Int(Γr (A)) = {C; AC < r}

iii) O exterior de Γr (A) como o conjunto:
Int(Γr (A)) = {C; AC > r}

iv) O disco de raio r centrado em A, como o conjunto:
Dr (A) = Int(Γr (A)) ∪ Γr (A)

Denição 6: Congruência entre segmentos(≡) Noção primitiva que satisfaz:
i) Reexividade: AB≡ AB
ii) Simetria: AB ≡ CD ⇒ CD ≡ AB
iii) Transitividade: AB ≡ CD, CD ≡ EF ⇒ AB ≡ EF
Axiomas de transporte de segmentos: (tranporte=permite

qualquer local do plano)

deslocar um segmento para

T1 ) Dados um segmento AB , SA X uma semi-reta. Existe um único B ∈ SA X tal que
A B ≡ AB .

Denição 7: Um ângulo é a união de duas semi-retas com uma mesma origem:
ˆ
AOB = SOA ∪ SOB
ˆ
-...
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