Exercicio 1 Continuidade

Temos:

cujo gráfico é o seguinte:

Em primeiro lugar, observemos que Dom f=R.
Em segundo lugar, a função é claramente contínua em cada um dos três intervalos abertos onde foi definida por uma diferente expressão. De fato, para x<0, é uma função contínua para 0<x<e, f(x)=1 é contínua para x>e, f(x)=ln x é contínua
Falta verificar o que acontece nos pontos x=0 e x=e. x=0 Temos f(0)=1 e
Logo

pois e, portanto, f é contínua em x=0.

x=e
Temos:
f(e)=ln e=1

e

.

e pois e
Logo

. e, portanto, f é contínua em x=e.

Assim, a função f é contínua em todos os pontos de seu domínio.
Finalmente, a função é derivável em cada um dos três intervalos abertos onde foi definida por uma diferente expressão. De fato, para x<0, é uma função derivável com f'(x)=2x para 0<x<e, f(x)=1 é derivável com f'(x)=0 para x>e, f(x)=ln x é derivável com
Precisamos verificar separadamente o que acontece em x=0 e em x=e, ou seja, nos pontos de "emenda". Em cada caso, precisamos investigar a existência ou não de

x=0
Calculando os limites laterais, temos:

Assim,

ou seja, existe a derivada da função em x=0 e f'(0)=0

x=e

Calculando os limites laterais, temos:

Dessa maneira, concluímos que não existe o limite

Ou seja, f não é derivável em x=e.
A expressão da derivada de f é então:

ou seja

O gráfico da derivada da função fica assim:

para x=e, pois