Exerc Cios Resolvido Teorema De Fubinni

Instituto Superior T´ ecnico Departamento de Matem´ atica ´
Sec¸
c˜ ao de Algebra e An´ alise Exerc´ıcios Resolvidos
Teorema de Fubini

Exerc´ıcio 1 Considere o subconjunto de R3 limitado pelos planos coordenados e pelos planos dados pelas equa¸co
˜es x + y + z = 3 e x + y − z = 1.
Escreva uma express˜ ao para o volume de S em termos de integrais iterados da forma:
i)

dz dy dx

ii)

dx dy dz

Resolu¸ c˜ ao: Em primeiro lugar devemos descrever detalhadamente o conjunto S, em particular a sua fronteira. A fronteira de S ´e dada pelos planos x=0; y =0; z =0; x+y+z =3; x+y−z =1
Os planos x+y +z = 3 e x+y −z = 1 intersectam-se segundo a linha recta x+y = 2 ; z = 1.
Os planos x + y − z = 1 e z = 0 intersectam-se segundo a linha recta x + y = 1 ; z = 0.
Portanto, S ⊂ I em que I = [0, 2] × [0, 2] × [0, 3] como se representa na figura 1. z 3 x+y+z =3

PSfrag replacements

1 x+y−z =1
1

2

y

1 x 2

Figura 1: Esbo¸co de S

i) Para o integral da forma dz dy dx fixamos x = a, ou seja, consideramos a intersec¸ca
˜o de S com o plano x = a em que 0 < a < 2.
Fixando x = a obtemos o corte em S descrito pelas linhas x =a; y =0; z =0; y+z =3−a; y−z =1−a
Dado que 0 < a < 2 da equa¸ca
˜o y − z = 1 − a devemos considerar dois casos: ou 0 < x = a < 1 ou 1 < x = a < 2, tal como se representa na figura 2.
Para 0 < x = a < 1 o corte em S ´e o quadril´ atero y =0; z =0; y+z =3−a; y−z =1−a
1

z

z
0<x<1

1<x<2

PSfrag replacements
3−x
y+z =3−x y+z =3−x

1

1

y−z =1−x

y−z =1−x
1−x

0

2−x

y

2−x

0

y

Figura 2: Corte em S segundo o plano x = a

e note-se que para z = 0 obtemos y = 1 − a > 0 .

Para 1 < x = a < 2 o corte em S ´e o triˆ angulo y =0; y+z =3−a; z−y =a−1
Portanto, o volume de S ´e dado por
1

1−x

3−x−y

vol(S) =

dz dy dx +
0

0

0

1

2−x

3−x−y

2

1−x
2−x

x+y−1
3−x−y

0

x+y−1

dz dy dx +

+
0

dz dy dx

+
1

ii) Para o integral da forma

dx dy dz fixamos 0 < z = c < 3.

Dado que os planos x + y + z = 3 e x + y − z = 1 se intersectam para z = 1 devemos
considerar