Exerc Cios Cap Tulo 2 Stewart Se O 2 1

Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM

Exercícios Comentados de Cálculo 1
(Stewart, Vol. 1, 7ª ed.)
2.1 Os problemas da tangente e da velocidade
Exercício 01. Tanque cheio de água. Drenado em ½ hora.
Dados do volume de água, em litros, de 5 em 5 minutos na seguinte tabela. t V

5
694

10
444

15
250

20
111

25
28

30
0

a) Considere o ponto P = (15, 250 ) do gráfico do volume pelo tempo. O autor solicita as inclinações de secantes PQ, com Q ponto do gráfico com abscissas 5, 10, 15, 20, 25 e 30.
b) O autor solicita que se estime a inclinação da tangente em P pela média das inclinações de duas secantes.
c) O autor pede que seja traçado um gráfico e que se utilize tal gráfico para estimar a inclinação da tangente em P.

Resolução.
a) As inclinações solicitadas são os coeficientes angulares das secantes. Como conhecemos dois pontos dessas retas, a saber, os pontos P e Q, tais coeficientes angulares podem ser
∆
calculados mediante a avaliação dos quocientes y . Esses
∆x
quocientes são obtidos da seguinte maneira: Considere como
1

Notas de Aula – Cálculo 1 – Prof. Rui, DMA – UEM ponto inicial sempre o ponto P, já que o autor lhe pede assim;
Considere como ponto final sempre o ponto Q (que vai variar);
Faça a subtração das ordenadas de Q e P, isso será ∆ y ; Faça a subtração das abscissas de Q e P, isso será ∆ x .
É interessante observar o registro gráfico dos pontos coletados, isso pode ser feito mediante um rascunho. Mas como temos em mãos o software Geogebra, vamos colocar os dados da tabela no plano cartesiano digitando rapidamente esses valores no campo de entrada do software.

Após entrar com os valores da tabela, será necessário ajustar as escalas dos eixos para visualizar imagem semelhante à mostrada anteriormente.
Na ilustração seguinte mostramos a reta que passa por P e
(10,444).

2

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Os coeficientes angulares das secantes são:

250 − 694 −444
=
;
15 − 5
10
250 − 444 −194
=
;
15 − 10
5
250 − 111 139