exercícios derivadas parciais

Páginas: 21 (5049 palavras) Publicado: 15 de maio de 2014
Cálculo Diferencial e Integral III

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1. Derivadas Parciais de 1ª ordem
Segundo Gonçalves e Flemming, apresentamos as seguintes definições:

1.1. Definição
Dada a função
1ª ordem

f : A  Rn  R , f  f ( x1, x2 ,..., xn ) , temos n derivadas parciais de

f f
f
, em que
,
,...,
x1 x2
xn
f
f ( x1  x1, x2 ,...xn )  f ( x1, x2 ,..., xn )
 lim
x1 x10
x1f
f ( x1, x2  x2 , x3...xn )  f ( x1, x2 ,..., xn )
 lim
x2 0
x2
x2
f
f ( x1, x2 ,...xn  xn )  f ( x1, x2 ,..., xn )
 lim
xn xn 0
xn

1.2. Derivadas parciais de f (x,y) no ponto (x0,y0)
Dada a função

f : A  R2  R de duas variáveis, z  f ( x, y) , e o ponto

( x0 , y0 )  A .
y  y0 , consideramos a função g ( x)  f ( x, y0 ) . A derivada de g no ponto
x x0 , denominada derivada parcial de f em relação à x no ponto ( x0 , y0 ) , denotada por
f
f
f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )
f ( x , y0 )  f ( x0 , y0 )
,
( x0 , y0 ) , é definida por
( x0 , y0 )  lim
 lim
x0
xx0
x
x
x
x  x0
considerando x  x  x0 e y  y  y0 , se o limite existir.
Analogamente, a função derivada parcial de 1ª ordem de f em relação à y , é dadaf
f ( x0 , y0  y )  f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y)  f ( x0 , y0 )
por
,
considerando
( x0 , y0 )  lim
 lim
y 0
y  y0
y
y
y  y0
x  x  x0 e y  y  y0 , se o limite existir.
Fixado

Notações:

f
, Dx f ( x, y ) , f x ( x, y ) em relação à variável x ;
x
f
b.
, Dy f ( x, y ) , f y ( x, y ) em relação à variável y .
y
a.

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1.3. Função Derivada parcial de 1ª ordem
f : A  R 2  R de duas variáveis, z  f ( x, y) , e o ponto
f
( x0 , y0 )  A . Seja B  A o conjunto formado por todos os pontos f ( x, y) tais que
( x, y )
x
existe. A função derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a x é a função que a cada
fdado por:
( x, y)  B associa o número
x
Dada a função

f
f ( x  x, y )  f ( x , y )
( x , y )  lim
x0
x
x
Analogamente, a função derivada parcial de 1ª ordem de

f em relação a y é a

f
dado por
y
f
f ( x , y  y)  f ( x , y )
( x , y )  lim
y 0
y
y

função que a cada

( x, y)  B associa o número

1.3.1. Exemplo 1
Calcule as derivadas parciais de1ª ordem da função

f ( x, y)  12  x2  2 y 2 usando a definição.

f
f ( x  x, y )  f ( x, y )
12  ( x  x) 2  2 y 2  (12  x 2  2 y 2 )
( x , y )  lim
 lim
x0
x0
x
x
x
2
2
2
2
2
12  x  2 xx  (x)  2 y  12  x  2 y
2 xx  (x) 2
x(2 x  x)
lim
 lim
 lim
x0
x0
x0
x
x
x
lim (2 x  x)  2 x
x0

T

f
f ( x, y  c )  f( x, y )
12  x 2  2( y  y ) 2  (12  x 2  2 y 2 )
( x , y )  lim
 lim
y 0
y 0
y
y
y
12  x 2  2( y 2  2 yy  (y ) 2  12  x 2  2 y 2
12  x 2  2 y 2  4 yy  2(y ) 2  12  x 2  2 y 2
 lim
y 0
y 0
y
y
lim

4 yy  2(y ) 2
y (4 y  2y )
 lim
 lim (4 y  2y )  4 y
y 0
y 0
y0
y
y
lim

ou,

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2
2
2
f
f ( x , y0 )  f ( x0 , y0 )
12  x 2  2 y0  (12  x0  2 y0 )
( x0 , y0 )  lim
 lim

x x0
x x0
x
x  x0
x  x0
2
2
2
2
12  x 2  2 y0  12  x0  2 y0
 x 2  x0
( x  x )( x0  x )
 lim
 lim 0

x x0
x x0 x  x
x x0
x  x0
x  x0
0

 lim lim
x x0

1( x0  x )( x0  x )
 lim[1( x0  x )]  1( x0  x0 )  2 x0
x x0
x  x0

e
2
2
2
f
f ( x0 , y )  f ( x0 , y0 )
12  x0  2 y 2  (12  x0  2 y0 )
( x0 , y0 )  lim
 lim

y  y0
y  y0
y
y  y0
y  y0
2
2
2
2
2
12  x0  2 y 2  12  x0  2 y0
2 y 2  2 y0
2(  y 2  y0 )
2( y0  y )( y0  y )
lim
 lim
 lim
 lim

y  y0
y...
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