Exercício geometria analítica

Páginas: 8 (1959 palavras) Publicado: 6 de abril de 2013
UFF - Universidade Federal Fluminense IME - Instituto de Matem´ tica e Estat´stica a ı GGM - Departamento de Geometria Professora: Lhaylla Crissaff 2a Lista de Geometria Anal´tica I (MAT 00162) - Retas ı 2o semestre de 2012 1. Encontre as equacoes param´ tricas das retas que passam por P e Q nos casos a seguir: ¸˜ e (a) P = (1, 3) e Q = (2, −1). (b) P = (5, 4) e Q = (0, 3). 2. Dados o ponto P =(2, −1) e a reta r : y = 3x − 5, encontre a equacao param´ trica da reta que cont´ m o ponto P e ¸˜ e e ´ ` (a) e paralela a reta r. ´ ` (b) e perpendicular a reta r. − 3. Dados o ponto A = (2, 3) e o vetor → = (1, −2). v (a) Escreva equacoes param´ tricas da reta r que passa por A e tem direcao →. ¸˜ e ¸˜ − v (b) Encontre os dois pontos B e C de r de parˆ metros t = 1 e t = 4, respectivamente. a ´(c) Determine o ponto de r cuja coordenada y e 4. (d) Verifique se os pontos D = (4, −1) e E = (5, −4) pertencem a r. 4. Encontre a equacao cartesiana da reta nos casos a seguir: ¸˜ (a) r passa pelos pontos (2, 1) e (3, 4). ´ (b) s e perpendicular ao vetor (1, 3) e passa pelo ponto (1, 0). ´ (c) t e paralela ao vetor (1, 3) e passa pelo ponto (1, −1). − 5. Verifique que → v − (a) → = (−1, 2) v − 1(b) → = − 5 , 4 v 3 r, onde: e e r : 2x − 4y + 1 = 0. r: x = −1 + t 5 ; t ∈ R. y = 4 −t 3

6. Classifique em verdadeiro(V) ou falso(F): ` ´− (a) Um vetor normal a reta 3x + y − 1 = 0 e → = (3, 1). n ` ´− (b) Um vetor normal a reta 2x − 5y + 3 = 0 e → = (2, 5). u ` ´− (c) Um vetor normal a reta x + y + 1 = 0 e → = (2, 2). n ` ´− (d) Um vetor paralelo a reta 3x − y + 1 = 0 e → = (1, 3). n ˆ 7.Determine o angulo entre as retas r e s nos casos dados abaixo: (a) r : 2x + 3y = 1 (b) r : x + y + 1 = 0 e e s : y = −5x + 8. s: x = 1 − 2t ; t ∈ R. y = 2 + 5t

8. Encontre as equacoes param´ tricas das seguintes retas: ¸˜ e (a) 2x − 5y = 3. (b) x = 3y. (c) x − 4 = 0. 9. Dadas as equacoes param´ tricas, identifique quais delas representam a mesma reta: ¸˜ e (a) x = 3t + 1, y = −2t + 2; t ∈ R. (b) x= −6t − 2, y = 4t + 4; t ∈ R. 1

(c) x = −3t + 2, y = 2t; t ∈ R. 10. Determine as equacoes cartesianas das seguintes retas: ¸˜ (a) x = t + 5, y = 2t + 4; t ∈ R. (b) x = 2t − 1, y = −t + 1; t ∈ R. (c) x = 1 − t, y = 3t; t ∈ R. ´ 11. Determine se as retas r1 e r2 s˜ o paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no ultimo caso, o ponto de a intersecao: ¸˜ (a) r1 : 2x + y − 1 = 0 (b) r1: (c) r1 : e r2 : e e x = −1 + t ; t ∈ R. y = −t r2 : x − 6y = 3. r2 : x = 4 + 4s ; s ∈ R. y = 2 − 6s

x = 3 + 3t 1 ;t∈R y = 1 − 2t x = −t ;t∈R y = 2 + 3t 2

12. Sejam P = (1, 2) e Q = (−2, −2). (a) Determine a equacao cartesiana da reta que passa por P e Q. ¸˜ ´ (b) Determine as coordenadas dos pontos que est˜ o sobre a reta do item anterior e cuja distˆ ncia ao ponto Q e o a a dobro da distˆncia do ponto P . a ´ (c) Determine as coordenadas dos pontos que est˜ o sobre a reta do item(a) e cuja distˆ ncia ao ponto Q e λ vezes a a a distˆ ncia ao ponto P , onde λ > 0. a 13. Determine as equacoes reduzidas das retas suportes dos lados do triˆ ngulo cujos v´ rtices s˜ o A = (0, 0), B = (1, 3) ¸˜ a e a e C = (4, 0). ´ 14. A reta determinada por A = (a, 0) e B = (0, b) passa por C = (3,4). Qual e a relacao existente entre a e b. ¸˜ 15. Verifique que os pontos A = (a, b + c),B = (b, a + c) e C = (c, a + b) s˜ o colineares e determine a equacao cartesiana a ¸˜ da reta que os cont´ m. e 16. Faca o esboco das seguintes retas: ¸ ¸ (a) y = 2x (b) x + y = 5 (c) x − y + 5 = 0 (d) x + y + 3 = 0 (e) 2y + x = 0 (f) x − y = 4 17. Sejam r1 : x + 2y = 3 e r2 : 2x + 3y = 5. (a) As retas r1 e r2s˜ o paralelas ou coincidentes? a (b) As retas r1 e r2 s˜ o perpendiculares ? Se sim, calcule o ponto de intersecao entre elas. a ¸˜ ˜ (c) Se todas as respostas acima forem ”NAO”, o que podemos concluir ? 18. As retas suportes dos lados do triˆ ngulo ABC s˜ o a a (AB) : 3x − 4y = 0, (BC) : x + y − 7 = 0, (CA) : 4x − 3y = 0. ´ o Mostre que o triˆ ngulo ABC e is´ sceles. a 19. Determine a para que...
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