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1301 palavras
6 páginas
ENG03003 - Mecânica dos Sólidos IProf. Jakson Manfredini Vassoler
Resumo
Material para o módulo: Relações Constitutivas.
1
Exercício
Seja um cubo de aço com dimensões de 0, 2 × 0, 2 × 0, 2m (Fig.2 ) com o seguinte deslocamento:
5x2 + 3x + y − 2z
3yx
d=
10−4 m
.
4zx
Figura 1: exemplo
I. O gradiente do deslocamento é dado por:
10x + 3
3y
∇d =
4z
1
1 −2
3x 0 10−4 m
0 4x
II. Fazendo a hipótese de pequenas deformações: ε= 1
∇dT + ∇d
2
1
1
10x + 3
2 (1 + 3y)
2 (−2 + 4z)
1
1 (1 + 3y)
10−4
3x
2
2 (0 + 0)
1
1
(−2 + 4z) 2 (0 + 0)
4x
2
3
1
10x + 3 2 + 2 y −1 + 2z
1 + 3y
10−4
3x
0
2
2
−1 + 2z
0
4x
ε =
=
III. Fazendo a hipótese que o material é homogêneo, isotrópico, elástico e linear, pode-se usar a lei de
Hooke generalizada: σ = λtr (ε) I + 2µε ou
σxx σyy σzz σxy σxz σyz
=
2µ + λ λ λ
0
0
0
λ
2µ + λ λ 0
0
0
λ
0
λ
0
2µ + λ 0
0
2µ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2µ 0
0 2µ
εxx εyy εzz εxy εxz εyz
onde esta é escrita com as constantes de Lamè µ e λ.
Dadas as propriedades elásticas do aço como E = 210GP a e ν = 0, 3, pode-se calcular λ =
µ =
e calcular a tensão de
σxx σyy
σzz
σxy =
σxz σyz νE
= 121, 15GP a
(1 + ν) (1 − 2ν)
E
= 80, 769GP a
2 (1 + ν)
Cauchy:
282, 688
121, 15
121, 15
0
0
0
121, 15
282, 688
121, 15
0
0
0
121, 15
0
121, 15
0
282, 688
0
0
161, 538
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
161, 538
0
0
161, 538
10x + 3
3x
4x
1
3
2 + 2y
−1 + 2z
0
que resulta em
367, 493x + 84, 8064 σ = 8, 0769 + 24, 231y
−16, 154 + 32, 308z
8, 0769 + 24, 231y
−16, 154 + 32, 308z
MPa
254, 4164x + 36, 345
0
0
270, 5702x + 36, 345
2
.
IV. As forças de corpo saem das equações de equilíbrio:
∇·σ+b =
0
ou: b =
−∇ · σ
Então: bx =
−
by
=
−
bz
=
−
b =
∂σxx
∂σyx
∂σzx
+
+
∂x
∂y
∂z
∂σxy
∂σyy
∂σzy
+
+
∂x
∂y
∂z
∂σxz
∂σyz
∂σzz
+
+
∂x
∂y
∂z
−424,