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Capítulo 1
1.1 Equações Diferenciais Ordinárias
Uma equação diferencial ordinária é uma equação que envolve uma ou mais derivadas de uma função y = y(x) desconhecida.
A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que ela contém.
Uma equação diferencial de ordem n é denominada linear se puder ser escrita na forma an (x)y (n) + ... + a1 (x)y + a0 y = b(x),

onde os coecientes aj (x) são funções apenas de x, ou são constantes.
Exemplos
•

dy
= 3y ; dx •

d2 y dy − 6 + 8 = 0;
2
dx dx • y − y = e2x ;
• y − y = cos t.

Uma função y = y(x) é uma solução de uma equação diferencial num intervalo aberto I se a equação estiver satisfeita identicamente em I quando y e suas derivadas forem substituídas na equação.
Por exemplo: y = e2x é uma solução da equação diferencial dy − y = e2x . dx y = Cex + e2x também é uma solução para todo valor real da constante C . (veja na gura
1.2 algumas curvas que encontramos quando variamos o valor da constante C )

1

Figura 1.1: y = Cex + e2x

1.2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem e Aplicações
Uma equação que contém apenas a primeira derivada é uma equação diferencial de primeira ordem. Por exemplo, a velocidade de um objeto em queda é uma EDO de primeira ordem:
Considerando um objeto que cai na vertical e possui massa m. De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante sobre este objeto é descrito por F = m.a.
As forças atuando sobre ele são a força da gravidade (para baixo) e a resistência do ar (no sentido oposto, para cima).
A gravidade exerce uma força F tal que F = m.g
A resistência do ar pode ser escrita como γv , onde γ é a constante da resistência do ar, que varia com o objeto.
Assim, temos dv = mg − γv dt A resolução da equação será uma função v = v(t), que irá variar de acordo com os valores das constantes γ , m e g . m 1.3 Método de solução por fator integrante
Consideramos a equação diferencial linear de primeira ordem dy +