Estudo

Mestrado em Estatística e Gestão de Informação
Anexo 1
Distribuição Gama
Seja X v.a. com f.d.p.

λ α e − λx x α −1 f (x α , λ ) =
Γ(α )

x>0

α ,λ > 0 com Γ(α ) = ∫ 0+∞ e

−x

Diz-se que X segue uma lei Gama de parâmetro
Escreve-se:

X ~ G (α , λ )

(α > 0)

x α −1dx

α

e

λ

α = 2 , λ = 0.6

α = 2 ,λ =1

α = 2 , λ = 0 .4

α = 4 ,λ =1 α = 10 , λ = 1

α = 2 , λ = 0.2

1

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Notas:
1) α inteiro

distribuição de ERLANG

2) α =1

distribuição exponencial

α
α 
(
)
(
)
E
X
=
X
,
var
=


3) λ2 λ
4) Se α

≤1 ,

5) Se α > 1 ,

a Lei Gama não tem moda

moda

(X ) = α −1 λ 2

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Observação:
É importante interpretar a Lei Gama no contexto dos processos de Poisson:

0

X1

X1 + X 2

X1 + X 2 + X 3

X1 + X 2 + L + X n

Seja X i a v.a. que representa o tempo de espera pelo i-ésimo acontecimento contado a partir da ocorrência do acontecimento anterior: isto é, X i avalia o tempo decorrido entre dois acontecimentos consecutivos logo
(onde o parâmetro

X i → exp(λ )

λ depende do ritmo de afluência de acontecimentos).

⇒ A v.a. X = X 1 + X 2 + L + X n
Representa o tempo de espera pelo n-ésimo acontecimento sendo

0 se x ≤ 0
F (x ) = 
 P( X ≤ x ) = 1 − P( X > x ) x > 0
Representa a probabilidade de ocorrerem menos que n acontecimentos no intervalo

]0, x]
3

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Sendo Z a v.a. que representa o número de acontecimentos no intervalo ]0, x ] ,

e −λ x (λ x )
⇒ P(Z < n ) = ∑ x>0 i! i =0

Z → P0 (λ x )

i

n −1

Logo para x > 0

e −λ x (λ x )
F (x ) = 1 − ∑ i! i =0

i

n −1

−λ x
(λ x ) e = 1 − e −λ x − ∑ i! i =0

i

n −1

⇒

f (x ) =

λ n e − λ x x n −1

(n − 1)!

x>0

Conclusão: O tempo de espera pelo n-ésimo acontecimento segue uma lei Gama
Observação: Prova-se que: