Estudo do pêndulo simples

ESTUDO DO PÊNDULO SIMPLES

O estudo teórico do pêndulo simples serve como introdução a sistemas mais complexos que iremos estudar posteriormente que descrevem com maior exactidão o movimento de um membro robótico, como é o caso de uma perna artificial.

Modelação matemática do Pêndulo Simples

Considerando que o sistema possui atrito viscoso e não é completamente flexível na sua junta, a equação que descreve a dinâmica deste sistema (Fig. 1) é (1):

(1)

… em que Fg é a força gravítica a que o centro de massa está sujeito, L e θ é o comprimento e a sua abertura relativamente ao ponto de equilíbrio respectivamente, τa é o binário de atrito incorporado na junta (viscoso e de flexibilidade) e τ é um binário externo aplicado. τres é o binário total resultante e é descrito pela lei de Newton com (momento de inércia).

Fig. 1 - Pêndulo simples.

Sabendo que e , em que c é o coeficiente de atrito viscoso e k é o coeficiente de flexibilidade, então (2):

(2)

Simulação em MatLab do pêndulo simples em queda livre i

A simulação do pêndulo simples em queda livre, será realizada através da aplicação da equação 2 com τ=0, dado que agora o pêndulo não é actuado. Note que esta é uma equação diferencial não linear, pelo que métodos especiais são necessários para o seu cálculo. Eventualmente poderia se fazer a aproximação de para θ≈0, mas perdia-se realismo na representação de θ em toda a sua gama possível.
Para o cálculo desta equação, usou-se o método de Runga-Kutta que resolve equações diferenciais ordinárias de forma numérica. A função MatLab que implementa este método é o ODE45 cujos parâmetros de entrada são os seguintes (função 1):

[t,θ] = ode45(odefun,tspan,θ0) (função 1)

… em que odefun (função 2), é uma função que relaciona , tspan é a gama temporal no qual se pretende conhecer θ, e θ0 são as condições iniciais.
Como esta função só lida com equações de 1ª ordem e o que pretendemos resolver é de 2ª, uma técnica,