Estudo das derivadas (conceito e aplicações)

FONTE: magiadamatematica.com/uss/administracao/09-derivadas.pdf

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UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA
UNIDADE MARICÁ
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS
MATEMÁTICA 2 – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ
ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES)
No presente capítulo, estudaremos as noções básicas sobre derivadas de funções e algumas de suas aplicações nas áreas da Economia e Administração. A noção de derivada é uma das mais importantes e poderosas ferramentas da Matemática.
Para um bom entendimento sobre derivadas necessitamos do conceito de taxa de variação média e também o de taxa de variação instantânea. São dois conceitos simples, importantes e fundamentais para o entendimento das derivadas.
1) TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA
Vejamos um exemplo inicial:
Considere a função f(x) = x
2
, que define a produção (em toneladas) de uma Empresa
X, em função do número de horas trabalhadas (x). Vamos supor que o início do expediente, que é representado por x = 0, foi 0:00 horas. Podemos verificar que a produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número de horas trabalhadas, isto é, um intervalo de uma hora, entre 2 h e 3 h, por exemplo, vai gerar uma produção menor que um intervalo de uma hora, entre 5 h e 6 h. Veja isso:
a) Produção da Empresa até as 2 horas
4
f(2) – f(0) = 2
2
-
0
2
=
4 toneladas. b) Produção da Empresa até as 3 horas
4
f(3) – f(0) = 3
2
-
0
2
=
9 toneladas. Aqui verificamos um aumento de produção de 5 toneladas (9 – 4), em 1 hora, no intervalo de 2 horas às 3 horas.
c) Produção da Empresa até as 5 horas
4
f(5) – f(0) = 5
2
-
0
2
=
25 toneladas.
d) Produção da Empresa até as 6 horas
4
f(6) – f(0) = 6
2
-
0
2
=
36 toneladas.
Aqui verificamos um aumento de produção de 11 toneladas (36 – 25), em 1 hora, no intervalo de 5 horas às 6 horas.
O
que o exemplo nos mostra? Que, mesmo sendo um intervalo igual (de 1 hora), a variação da produção não foi a mesma. Em linguagem matemática, dizemos que a taxa de