estudante

6.

Aplicações da Derivada

6.1

Retas tangentes e normais - exemplos

Encontre a equação da reta tangente e da normal ao gráfico de f (x) = ex , em x = 0. Represente geometricamente. Solução:
Sabemos que a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 0 é dada por y – f (0) = f ’(0) (x – 0), ou equivalentemente, y = f ’(0) x + 1, pois f (0) = e 0 = 1 .
Para calcularmos f ’(0), primeiramente calculamos f ’(x) e depois substituímos x por 0. Assim, temos f ’(x) = ex e, portanto, f ’(0) = e0 = 1. Logo, a equação da reta tangente ao gráfico de f em x =
0 é dada por y = x + 1.
A reta normal ao gráfico de f em x = 1 tem seu coeficiente angular dado por -1/ f ’(0) = -1. Portanto, sua equação é dada por y = - x + 1. y ex

5

x+1

- x +1

4

3

2

1 x −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

6.1.2

Dada f (x) = 1+2 cos(x), determine:

a. As coordenadas-x de todos os pontos do gráfico em que a reta tangente é perpendicular à reta y= x
3

+ 4.

b. A equação da reta tangente ao gráfico no ponto em que este corta o eixo-y.
Solução:

69

a. Seja mt o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f e mn o coeficiente angular de sua reta normal. Sabemos que mt = - 1/ mn . Como mn = 1 / 3 , segue que mt = − 3 . Por outro lado, o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto x é dado por f ’(x). Portanto, queremos encontrar todos os valores de x tais que f ’(x) = − 3 , ou seja, todos os valores de x tais que -2 sen (x) = − 3 ou sen (x) =

3 / 2 ou x = arc sen ( 3 / 2 ) .

Logo, S = {x ∈ ℜ : x = (π / 3) + 2kπ , k ∈ Ζ} » {x ∈ ℜ : x = (2π / 3) + 2kπ , k ∈ Ζ} .

b. O gráfico corta o eixo-y quando x = 0. Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de f neste ponto será dada por y – f(0) = f’(0)(x-0) ou y – 3 = 0.x = 0 , ou seja, y = 3. y 4

y
8
7

3

6
5
4

2

3
2
1
−2π

−π

−1

1

x π 2π

−2

x
−2π

−π

π

2π

−3
−4

−1

−5
−6
−7
−8