Estudante

4

O método do lugar das raízes

4.1

Introdução

Neste capítulo é apresentado o método do lugar das raízes, que consiste basicamente em levantar a localização dos pólos de um sistema em malha fechada em função da variação de um parâmetro K.
O projeto de controladores envolve sempre a escolha da localização de pólos e zeros do sistema em malha fechada, que deve ser traduzida através da escolha da estrutura do controlador e dos seus parâmetros (Como em controlares P, PI, PD e PID).
Desta forma, a utilização do lugar das raízes pode ser útil no projeto de controladores pois neste pode-se observar a movimentação dos pólos em malha fechada a medida que um parâmetro K varia.
Ao final apresenta-se exemplos da utilização do método do lugar das raízes para o projeto de controladores.

4.2

O método do lugar das raízes

Considere o seguinte sistema em malha fechada ilustrado na Figura 4.1

55

Notas de Aula PMR2360

R(s)

+

Newton Maruyama
H(s)

E(s)

U(s)

Controlador referencia G(s)
Planta

Y(s) saida −

Figura 4.1: Sistema de controle em malha fechada.

A equação em malha fechada deste sistema pode ser escrita como:
Y (s)
G(s)H(s)
=
R(s)
1 + G(s)H(s).
Os pólos em malha fechada deste sistema podem ser encontrados resolvendo-se a seguinte equação característica:
1 + G(s)H(s) = 0, ou G(s)H(s) = −1.

Como G(s)H(s) é um número complexo, podemos escrever as seguintes equações:
Condição do ângulo: ∠G(s)H(s) = ±180o (2 ∗ k + 1) (k = 0, 1, 2, . . .)
Condição do módulo: |G(s)H(s)| = 1.

Em muitos casos G(s)H(s) envolve um ganho K:
1+K

(s + z1 )(s + z2 ) . . . (s + zm )
= 0.
(s + p1 )(s + p2 ) . . . (s + pn )

Para começarmos a esboçar o lugar das raízes é necessário conhecer os pólos e zeros de G(s)H(s). Os ângulos de qualquer ponto s em relação aos pólos e zeros de G(s)H(s) devem ser medidos no sentido anti-horário.
O lugar das raízes é um gráfico que fornece as raízes em malha fechada no plano s