Estudante

Capítulo 1
Propriedades dos Números Reais e Equações
1.1

Números Reais

Em R estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação.
• Adição: x ` y
• Multiplicação: x ˆ y ou x ¨ y
Propriedades
• Fechamento: x ` y P R e x ¨ y P R, @ x, y P R
• Comutativa: x ` y “ y ` x e x ¨ y “ y ¨ x
• Associativa: x ` py ` zq “ px ` yq ` z e x ¨ py ¨ zq “ px ¨ yq ¨ z
• Distributiva: x ¨ py ` zq “ x ¨ y ` x ¨ z
• Elemento neutro:
– Adição: Para todo x P R, existe um número real 0 tal que x ` 0 “ 0 ` x “ x.

– Mutiplicação: Para todo x P R, existe um número real 1 tal que x ¨ 1 “ 1 ¨ x “ x.

• Existência de simétrico ou oposto: Todo número real x possui um oposto ´x tal que x ` p´xq “ p´xq ` x “ 0.
Obs: Definimos a diferença entre dois números reais x e y por x ´ y “ x ` p´yq.
• Existência de inverso: Todo número real x ‰ 0 possui um inverso x¨ 1 tal que x 1
“ x ¨ x´1 “ 1. x 1
1
x x “ x ¨ , onde é o inverso de y. O quociente é chamado de divisão de x
Obs:
y y y y por y.

1

Regras de sinal
Para quaisquer números reais x e y, tem-se:
´1
1
1
“
“´
x
´x
x

• x¨0“0¨x“0

•

• ´p´xq “ x

• ´px ` yq “ ´x ´ y

• p´xq ¨ p´yq “ x ¨ y

• x ¨ p´yq “ p´xq ¨ y “ ´pxyq

• p´1q ¨ x “ ´x

• ´

´x x x
“
“ se y ‰ 0 y y
´y

Propriedades operacionais dos números reais
Para quaisquer números reais x, y e z, valem as seguintes propriedades:
• x ˘ z “ y ˘ z ô x “ y (Lei do Cancelamento)
• Se z ‰ 0, então x ¨ z “ y ¨ z ô x “ y (Lei do Cancelamento)

As implicações x “ y ñ x ˘ z “ y ˘ z e x “ y ñ x ¨ z “ y ¨ z são chamadas Regra da
Balança. Em palavras, ela diz que em uma igualdade de números reais, sempre se pode somar ou multiplicar uma mesma quantidade.
O nome da regra advém de interpretar os números x e y como pesos colocados um em cada prato de uma balança, os quais sendo iguais, mantêm a balança em equilíbrio. Este equilíbrio é mantido se acrescentarmos ou tirarmos em cada prato, um mesmo peso z, ou