estudante

PRIMEIRO SEMESTRE DE 2014

LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA: Quinto Período

PROFESSOR: Alessandro Ferreira Alves.

VALOR: 4 Pontos.

ATIVIDADE AVALIATIVA 04 – ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

ATIVIDADE INDIVIDUAL

Questão 01: Surge a seguinte indagação em um plantão do professor Alessandro: Professores considerem um grupo G de dimensão finita. Se G é cíclico então G é abeliano? Justificar a sua resposta.

Como G é cíclico, temos que G = . Se x, y G, então  m, nZ
/ x = a m e y = a n . Daí:
x.y = a m . a n = a mn = a n . a m = y.x
Portanto, G é um grupo abeliano.

Questão 02: Consideremos as seguintes afirmações:

(0) O elemento neutro de um grupo é único.

(1) O elemento inverso de um grupo é único.

(2) O Conjunto dos Números Racionais Q é um grupo aditivo abeliano.

(3) Se H e K são dois subgrupos de um grupo G, então a interseção HK não é um subgrupo de G.

(4) Se G é um grupo cíclico então G não é um grupo abeliano.

Desta forma, podemos afirmar que a soma das alternativas verdadeiras é dada por?

a) ( X ) zero
b) ( ) 10
c) ( ) 8
d) ( ) 9
e) ( ) N.d.a.

Questão 03: Consideremos as seguintes afirmações:

(0) A função f: G G definida por f(x) = e (elemento neutro) é um homomorfismo.

(1) A função f: (, +) (, .) definida por f(x) = 2 é um homomorfismo.

(2) Qualquer função definida de G em G é um homomorfismo de G.

(3) Um monomorfismo é um homomorfismo sobrejetor.

(4) Um epimorfismo é um homomorfismo injetor.

Desta forma, a soma das alternativas corretas é dada por?

a) ( ) 1
b) ( X ) 3
c) ( ) 4
d) ( ) 7
e) ( ) zero

Questão 04: Caracterizar o núcleo da aplicação f: (, +) (, .) definida por x f(x) = 2.

Questão 05: Consideremos G um grupo finito. A função identidade definida em G é um isomorfismo? Por quê? Justificar a sua resposta.

Questão 06: Verificar em cada caso abaixo se f é um homomorfismo:

a) f: dado por f(x) =