Estatística

ESTATÍSTICA APLICADA À QUALIDADE

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Maurício S. Bomtempo

Função Densidade de Probabilidade
Uma variável aleatória X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade f(x)
Propriedades:

Probabilidade de X estar entre a e b.

(a) A área sob a curva de densidade é 1;
(b) P(a ≤ X ≤ b) = área sob a curva da densidade f(x) e acima do eixo x, entre os pontos a e b;
(c) f(x) ≥ 0, para qualquer intervalo;
(d) P(X = x0) = 0, para x0 fixo.

Como consequência:
P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)
2

Distribuição Normal
Esta distribuição de probabilidade é definida pela função:
−
1 f ( x) = e σ 2π

( x−µ )2
2σ 2

A distribuição normal possui 2 parâmetros:
•

µ

•

σ 2 = variância (determina a dispersão da distribuição)

= média (determina o centro da distribuição)

X ~ N (µ ,σ 2 )
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Populações normais com médias diferentes e mesma variância
N (µ1; µ N (µ2; µ σ2)

σ2)

Populações normais com mesma média e variâncias diferentes
N (µ; σ12) µ σ22 > σ12
N (µ; σ22) µ µ1

µ2

x

Desta forma, existe um número infinito de curvas normais

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≅ 68% da área está a um desvio-padrão da média.
68%

µ − 3σ µ − 2σ µ − σ

µ

µ + σ µ + 2σ µ + 3σ

≅ 95% da área está a dois desvios-padrão. ≅ 99,7% da área está a três desviospadrão da média.

P( µ − σ ) < X < P ( µ + σ ) = 0,6825
P( µ − 2σ ) < X < P( µ + 2σ ) = 0,9544
P( µ − 3σ ) < X < P( µ + 3σ ) = 0,9974

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Distribuição Normal Padrão
Transformação:

Z=

x−µ

σ

µZ = 0 σ =1
Z ~ N (0,1)

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Relacionando as Distribuições f(x) X ~ N(µ ; σ2) µ f(z)

Z ~ N(0 ; 1)

a–µ σ a

0 b–µ σ µ

b

x

z

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Exemplo:
As pontuações em um concurso público estão normalmente distribuídas, com média de 152 e desvio padrão de 7.
Determine o escore z para candidatos com pontuações de:
(a) 161

(b) 148

µ x = 152 σ =7
161 − 152 z= = 1,29
7

z=