essa curso

FORMAS INDETERMINADAS E A REGRA DE L'H^OPITAL
RICARDO MAMEDE
Consideremos o limite lim x!a f(x) g(x)
:
Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores nitos quando x ! a, digamos e , e  6= 0, ent~ao pela algebra dos limites sabemos que lim x!a f(x) g(x)
=

:
Mas o que acontece quando ambas as func~oes tendem para zero? Neste caso, n~ao podemos garantir a partida qual o valor do limite. De facto, nem podemos garantir que este limite exista, como se pode comprovar nos exemplos seguintes: lim x!0 x2 x
= lim x!0 x = 0 lim x!0 x x2 = lim x!0 1 x = 1 lim x!0
2x
x
= lim x!0 2 = 2 lim x!0 􀀀x x2 = lim x!0 􀀀1 x = 􀀀1 lim x!0 x sin2(x) n~ao existe lim x!0 sin2(x) x = 0
Todos estes casos s~ao exemplos de indeterminac~oes do tipo ( 0
0 ). Veremos que a regra de L'H^opital, que demonstraremos a seguir, e um instrumento muito util para tratar indeterminac~oes do tipo ( 0
0 ) ou (1
1). Para outras formas indeterminadas { 01, 1􀀀1,
11, 00 e 10 {, existem tecnicas que podem ser aplicadas de modo a transforma-las em indeterminac~oes do tipo ( 0
0 ) ou (1
1), de modo que a regra de L'H^opital pode igualmente ser usada.
Existem varias demonstrac~oes da regra de L'H^opital, e mesmo diferentes vers~oes desta regra. A demonstrac~ao mais usual da regra e devida a Cauchy e faz uso do chamado
Teorema do Valor Medio de Cauchy, tambem conhecido por Teorema do Valor Medio
Generalizado. Neste texto, no entanto, optamos por apresentar uma demonstrac~ao alternativa que evita o uso deste teorema.
Teorema 1 (Regra de L'H^opital). Sejam f; g : [a; b) ! R func~oes diferenciaveis em (a; b) e tais que lim x!a+ f(x) = lim x!a+ g(x) = 0 ou lim x!a+ f(x) = lim x!a+ g(x) = 1:
Se g0(x) 6= 0 para todo o x 2 (a; b), ent~ao lim x!a+ f(x) g(x)
= lim x!a+ f0(x) g0(x) ; desde que este ultimo limite exista (ou seja igual a 1).
O mesmo resultado e valido quando:
 se