espaço vetorial

Observação: este material é um complemento à bibliografia da disciplina e, portanto, não tem como intenção substituí-la.

RETAS EM R3

Seja L uma reta em R3, tal que contenha um ponto dado Po(xo, yo, zo) e é paralela aos
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representantes de um vetor R  a, b, c  dado. A figura a seguir mostra um esboço da reta L


e o representante de posição do vetor R .





A reta L é o conjunto dos pontos P(x, y, z) tal que V ( Po P) seja paralelo ao vetor R . Assim, P está sobre a reta se, e somente se, existir um escalar t não nulo tal que:




V ( Po P)  t R

(I)

Lembre-se: se dois vetores são paralelos, então, um deve ser múltiplo escalar do outro. É exatamente isso que está escrito na equação anterior.

Conhecemos os pontos P(x, y, z) e Po(xo, yo, zo) e, conforme visto em vetores, podemos definir


V ( Po P) da forma seguinte:


V ( Po P)  x  x0 , y  y0 , z  z 0 

(II)

Combinando as equações (I) e (II), podemos escrever o seguinte: = t.< a, b, c >
Assim, para que isso seja verdade, temos que ter: x – xo =ta y – yo = tb z – zo = tc
Reescrevendo as equações acima de outra forma, temos:

x = xo + ta y = yo + tb z = zo + tc
Como t é um número real qualquer e a, b e c podem assumir, também, quaisquer valores reais, então, as três equações anteriores podem nos fornecer todos os valores das coordenadas x, y e z dos pontos que pertencem à reta L. Estas equações são chamadas equações paramétricas da reta.

Se nenhum dos valores a, b e c forem nulos, podemos isolar t nas equações e, assim, eliminá-lo das equações. Assim, teremos as chamadas equações simétricas da reta:

 x  x0   y  y 0   z  z 0 


a



b

c

(III)



O vetor R  a, b, c  determina a direção da reta e os números a, b e c são chamados números diretores da reta. Agora, observe a equação anterior.



No início de nossa discussão dissemos que podíamos utilizar qualquer representante de R .


Qualquer