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Seja (V,+,.) um espaço vetorial sobre um corpo K e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial de V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para V. É comum escrever (S,+,.) para um subespaço. Para mostrar que (S,+,.) é um subespaço vetorial, podemos mostrar que esta estrutura possui as oito propriedades de espaço vetorial V ou usar uma das duas caracterizações seguintes:
Teorema I caracterizando subespaço vetorial: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:
1. S é não vazio.
2. Se v,w S, então v+w S.
3. Se k K e v S, então k.v S.
Teorema II caracterizando subespaço vetorial: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto S é um subespaço vetorial de V se:
1. O vetor nulo de V pertence ao conjunto S.
2. Se v,w S e p, q K, então p.v + q.w S.
Observação: É comum usarmos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não houver problemas de entendimento.

Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:
A1 Quaisquer que sejam u,v,w V
(u+v)+w = u+(v+w)
A2 Existe θ V tal que para todo v V: θ + v = v
A3 Para cada v V, existe −v V tal que v+(−v)=θ A4 Quaisquer que sejam u,v V, segue que u+v=v+u M1 Para todo escalar k K e quaisquer v,w V:
k.(v+w) = k.v + k.w
M2 Para quaisquer k,m K e todo v V:
(k+m).v = k.v + m.v
M3 Para quaisquer k,m K e qualquer v V:
(km).v = k(m.v)
M4 Para qualquer v V tem-se que
1.v = v

Propriedades em um espaço vetorial
Se V é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:
1. Para todo k K segue que k.θ = θ.
2. O vetor nulo θ é único.
3. Para todo v V tem-se que 0.v = θ.
4. Para cada v V o vetor oposto −v V é único.
5. Seja k K e v V. Se k.v=θ então k=0 ou v=θ.