ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES

ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES ( MÉTODO DE GAUSS )

Um método simples e eficiente para resolver sistemas é o de escalonamento ( método de Gauss ) . Ele é elementar , consagrado por seu uso secular e , ao mesmo tempo , atual . É um novo processo ( para resolver sistemas lineares de equação ) que nos conduzirá , passo a passo , não apenas à resposta para a questão da existência de soluções , como também à determinação explícita de tais soluções , quando existirem .

MATRIZ ESCALONADA

Diz-se que uma matriz é escalonada quando o primeiro elemento não-nulo de cada uma das suas linhas situa-se à esquerda do primeiro elemento não-nulo da linha seguinte . Além disso , as linhas que tiverem todos os seus elementos iguais a zero devem estar abaixo das demais .

EXEMPLOS DE MATRIZES ESCALONADAS

,

SISTEMAS LINEARES ESCALONADOS

.

RESOLVENDO O SISTEMA 1 :

Note que z = 1

Logo : y + 4.1 = 2 y = – 2

Portanto , teremos que : x + 2.( – 2 ) + 3 .1 = 2 x = 3 .

S = { ( 3 , – 2 , 1 ) }

O SISTEMA 1 TEM SOLUÇÃO ÚNICA ( SPD ) .

RESOLVENDO O SISTEMA 2 :

Note que z = 3

Logo : 3x + y + 5.3 = 20 3x + y = 5 ou y = 5 – 3x .

Portanto , as soluções do sistema 2 serão da forma : S = { ( x , 5 – 3x , 3 ) }

O SISTEMA 2 TEM INFINITAS SOLUÇÕES ( SPI ) .

RESOLVENDO O SISTEMA 3 :

Note que esse sistema não admite solução , pois 0x + 0y + 0z = 1 0 = 1 ?!?!?!

O SISTEMA 3 NÃO TEM SOLUÇÃO ( SI ) .

PROCESSO PARA ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR

1) Escolhemos para 1ª equação aquela em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não-nulo . Se possível , fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a – 1 ou 1 , pois os cálculos ficam , em geral , mais simples .

2) Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita das demais equações .

3) Desprezamos a 1ª equação e aplicamos os dois primeiros passos com as equações restantes