EQUAÇÕES DIFERENCIÁVEL ORDINÁRIA

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO NORTE
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

QUESTÃO
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS ORDINARIAS

PROFESSORA: ANDRÉIA FRAGATA

Aluno:
Ana Karla Ribeiro de Souza 13343866
Patrícia de Souza Gusmão 12062502
Marivaldo J. Félix M. Júnior 13408739
Rafael Gonçalves Vilela 13388096
Diego da Silva Serra 11021365
Adrielle Nascimento de Souza 12441627
João Brasil Cordeiro Pereira Junior 13322419

TURMA: CVN03S2
Manaus-AM
Novembro

EXERCÍCIO AVALIATIVO – RESOLUÇÃO EM SALA
1) Calcule (sem consultar uma tabela), sendo “a” constante, a transformada de Laplace de:
a) f(t) = eat
𝑡

ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = lim𝑡→∞ ∫0 𝑓(𝑡) 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝐹 (𝑠 ) =
𝐹 (𝑠 ) =

+∞
∫0 𝑒 𝑎𝑡
1
−𝑠+𝑎

𝐹 (𝑠 ) =

−𝑠+𝑎
1
𝑠−𝑎

∫𝑒

(−𝑠+𝑎)𝑡

𝑑𝑡 =

1

𝑡 → +∞

−𝑠+𝑎

. 𝑒 (−𝑠+𝑎)∞ −

1
−𝑠+𝑎

1
−𝑠+𝑎

. 𝑒 (−𝑠+𝑎)0

[𝑒 (−𝑠+𝑎).∞ − 𝑒 (−𝑠+𝑎).0 ]

[ 0 − 1] → −

1
𝑠−𝑎

𝑒 (−𝑠+𝑎)𝑡

−𝑠+𝑎
Primeiro encontramos a integral e depois aplicamos nos limites superiores e inferiores

𝑡=0

𝐹 (𝑠) = lim𝑡→∞

𝐹 (𝑠 ) =

→

𝑑𝑡

. 𝑒 (−𝑠+𝑎)𝑡

𝐹 (𝑠) = lim𝑡→∞

1

.𝑒

−𝑠𝑡

Para chegar nesses valores temos que substituir primeiro o “t” por
“+∞” e depois o “t” por “0”, onde iremos diminuir um pela outra.
Toda exponencial decrescente tendendo ao infinito sempre tenderá a zero (0).

. −1

, 𝑠𝑒 𝑠 > 𝑎

1

Colocando o −𝑠+𝑎 em evidência

1

Primeiro encontramos a integral usando o método
𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
(integração por partes)

at

b) f(t) = te

𝑡

ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = lim𝑡→∞ ∫0 𝑓(𝑡) 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡
+∞

𝐹 (𝑠) = ∫0

𝑡 . 𝑒 𝑎𝑡 . 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 →

∫ 𝑡. 𝑒 𝑎𝑡 . 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 →∫ 𝑡. 𝑒 (−𝑠+𝑎)𝑡 𝑑𝑡
Derivamos “u” em relação a “t”

𝑢=𝑡
→
𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
{
𝑒 (−𝑠+𝑎)𝑡
𝑑𝑣 = 𝑒 (−𝑠+𝑎)𝑡 → 𝑣 =

𝑑𝑢
= 𝑡1−1 → 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑡
𝑑𝑡

−𝑠+𝑎

Integramos “dv” para encontrar “v”

𝐹 (𝑠 ) =

+∞
∫0 𝑢 . 𝑑𝑣

𝐹 (𝑠) = 𝑡.