Equações Diferenciais Ordinárias

E QU A Ç Õ E S D I FE RE N CI AI S O RDI NÁ RI A S
1. INTRODUÇÃO
E qua çã o Dif ere nc ia l → eq uaç ão q u e co nté m u ma o u ma is d er i va d as d e u ma fu nç ão in có g ni ta.
O rde m d e u ma Eq ua çã o D if er en cia l → o rd e m d a ma i s al ta d er i vad a d a fu nç ão i ncó g n ita p res e nte n a eq u ação .
E qua çã o D if e re ncia l O rd iná ria ( E DO ) → eq u ação d i fe re nc ia l q u e ap re se n ta co mo in có g ni ta u ma fu nç ão d e u ma var iá ve l.
E xe mp lo s

dy
 x 2  3x é, p o r e xe mp lo , u m a eq uaç ão d i fere n cia l o r d in ári a d e p r i me ira o rd e m. dx i)

x

ii)

𝑦" + 𝑦 = 0 é u ma eq u ação d i f er e nc ial o rd i ná ria d e se g u nd a o rd e m.

iii)

 2u
 x2



 2u
 y2

 0 é u ma eq ua ção d i fe ren ci al p arci al (EDP ) d e se g u nd a o rd e m.

So l uçã o d e u ma E q ua ç ã o D if er en cia l → fu n çã o q ue s at is faz a eq uaç ã o , o u sej a, fa z co m q ue a i g u ald ad e sej a verd ad eir a, e m al g u m in ter v alo ab er to .
E xe mp lo s
i)

A fu nç ão 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 2 /2 é so l uç ão d e 𝑥𝑦 ′ + 𝑥 2 = 3𝑥, p ar a 𝑥 ∈ (−∞, +∞).
No te q ue 𝑦 = 𝑥 2 sat is f az a me s ma eq uaçã o , se 𝑥 = 0 o u s e 𝑥 = 1. Ma s c o mo n ão a s at is faz e m ne n h u m i nt er va lo ab er to , n ão p o d e ser co n si d erad a u ma so l uç ão .

ii)

A fu nç ão 𝑦 = 𝑥 2 /3 + 1/𝑥 é so l uç ão d e 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 2 , e m (−∞, 0) o u e m (0, +∞).

i i i ) A fu n ção

𝑦 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑥, co m 𝑎 e 𝑏 co n s ta n te s, é so l ução d e 𝑦" + 𝑦 = 0, p ara 𝑥 ∈

(−∞, +∞).

Pro b le ma de Va lo r I ni cia l → co n si s te d e u ma eq uaç ão d i fere n ci al ac o mp a n h ad a d e u m co nj u nto d e co nd içõ e s q ue d e ve m s er sa ti s feit as p e la so l u ção d a eq ua ção , e /o u s u a s d eri vad a s, no p o nto i nic ia l
𝑥𝑜 .
E xe mp lo s
i)

E n co ntre a so l u ção d a eq uaç ão d i fere n cia l 𝑥𝑦 ′ + 𝑥 2 = 3𝑥 q ue s